A propos d’une variété grasmannienne III

Ce billet est le dernier(*) d’une suite d’articles dédiés à l’étude de certaines propriétés de l’action de GL(n,\mathbb R) sur gl(n,\mathbb C), articles répartis dans trois séries intitulées :

  • Matrices complexes versus matrices réelles
  • A propos d’une variété grasmannienne
  • A propos d’un ouvert particulier de l’ensemble des matrices carrées complexes

et dont j’utiliserai librement les notations ci-dessous.

Nous supposerons que n>1, le cas n=1 ayant été discuté dans la série d’articles Droite projective réelle et cercle trigonométrique.

Pour résumer, la variété grasmannienne G_{2n,n}(\mathbb R) s’identifie canoniquement au quotient(**) de \omega_n\subset gl(n,\mathbb C) par l’action de GL(n,\mathbb R). L’ouvert \omega_n, formé des matrices complexes dont les colonnes sont linéairement indépendantes sur \mathbb R, admet la décomposition

\omega_n=\bigcup_{r=\lceil\frac n 2 \rceil}^n\omega_n^r

\omega_n^r est l’ensemble de ses éléments de rang r. A cette décomposition correspond une partition

G_{2n,n}(\mathbb R)=\bigcup_{r=\lceil\frac n 2 \rceil}^nF^r

dans laquelle F^r=\pi(\omega_n^r) est l’ensemble des n-plans \xi vérifiant \dim(\xi\cap J\xi)=2(n-r).

Par exemple, F^n=\pi(GL(n,\mathbb C)) est l’ouvert de la variété grasmannienne formé des \xi tels que

\mathbb R^{2n}=\xi\oplus J\xi

Le but de ce billet est d’examiner le comportement du passage au complément orthogonal \xi\mapsto \xi^\perp, qui est une involution de G_{2n,n}(\mathbb R), vis-à-vis de cette partition.

Retour sur un homomorphisme

Par définition, l’application \varphi_0:gl(n,\mathbb C)\to gl(2n,\mathbb R) associe à une matrice A la matrice

\varphi_0(A)=\begin{pmatrix}\mathcal R A &-\mathcal I A\\\mathcal I A & \mathcal R A \end{pmatrix}

En particulier, J=\varphi_0(iI_n).

On sait que l’application \varphi_0 est un homomorphisme d’algèbres associatives. De plus,

(1) \forall A \in gl(n,\mathbb C), \quad \mathrm{rang}(\varphi_0(A))=2\mathrm{rang}(A)

En effet, notons u_1,\ldots,u_n les colonnes d’une matrice complexe A et posons x_k=\tau(u_k). Alors, d’une part

\varphi_0(A)=\left(x_1\ \cdots \ x_n\ Jx_1\ \cdots \ Jx_n\right)

D’autre part, l’enveloppe linéaire sur \mathbb C, \xi^\diamond, des u_k est l’enveloppe linéaire sur \mathbb R des u_k et des iu_l. Autrement dit(***),

\xi^\diamond=\tau^{-1}\left(\rangle x_1,\ldots,x_n,Jx_1,\ldots,Jx_n\langle\right)

Par conséquent,

\mathrm{rang}(A)=\dim_\mathbb C\xi^\diamond=\frac 1 2\dim_\mathbb R\tau^{-1}\left(\rangle x_1,\ldots,x_n,Jx_1,\ldots,Jx_n\langle\right)=\frac 1 2 \mathrm{rang}(\varphi_0(A))

car \tau est une bijection \mathbb R-linéaire. D’où la formule.

Le passage au complément orthogonal

Nous sommes à présent en mesure de vérifier ceci :

Le passage au complément orthogonal stabilise chaque F^r, r=\lceil\frac n 2 \rceil,\ldots,n.

Soit en effet \xi\in F^r admettant des équations cartésiennes Tx=0T\in \mathbb R^n_{2n} est de rang n. Alors TJx=0 sont des équations cartésiennes pour J\xi et, comme \dim(\xi\cap J\xi)=2(n-r), la matrice

M:=\begin{pmatrix}T\\-TJ\end{pmatrix}

est de rang 2r. Il en va de même pour sa transposée. Or, si T=(P \ Q), où P,Q sont des matrices carrées de taille n, alors

^tM=\varphi_0(^tP+i ^tQ)

En particulier, vu (1), la matrice ^tP+i ^tQ est de rang r. Mais les colonnes de ^tT forment une base du complément orthogonal de \xi. Par suite

\xi^\perp=\pi(^tP+i ^tQ)\in F^r

et c’est gagné. 😉

__________
(*) En principe …
(**) Le passage au quotient sera noté \pi.
(***) Pour rappel, \tau(iu)=J\tau(u).

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Une réaction sur “A propos d’une variété grasmannienne III

  1. J’ai une autre façon de vérifier que F^{r\perp}=F^r. Elle repose sur la formule

    \forall \xi\in G_{2n,n}(\mathbb R), \quad \left(J\xi\right)^\perp=J\left(\xi^\perp\right)

    Voici comment faire. Soit \xi\in F^r. On a

    \begin{array}{lcl}\dim(\xi^\perp\cap J(\xi^\perp))&=&\dim(\xi+J\xi)^\perp\\&=&2n-\dim(\xi+J\xi)\\&=&2(n-r)\end{array}

    puisque \dim(\xi\cap J\xi)=2(n-r). Donc \xi^\perp appartient à F^r.

    Quant à la formule, elle est facile à vérifier. Puisque J est antisymétrique pour le produit scalaire canonique de \mathbb R^{2n}, x\in (J\xi)^\perp si, et seulement si, Jx\in \xi^\perp mais, comme J^{-1}=-J, cela revient à x\in J(\xi^\perp) comme annoncé. 😉

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