A propos des sous-espaces vectoriels complexes

En réfléchissant à certaines propriétés de la variété grasmannienne des n-plans de \mathbb R^{2n}, je suis tombé sur quelques faits amusants relatifs aux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel complexe, observations dont je vais vous faire part ici.

A l’origine, il s’agissait de la propriété suivante.

(1) Si V est un sous-espace vectoriel complexe de \mathbb C^n, alors il existe un sous-espace vectoriel U réel et de dimension n de \mathbb C^n tel que

\begin{cases}V=U+iU \mbox{\ si\ } \dim_\mathbb C V\geqslant \lceil\frac n 2\rceil \\[1ex]V=U\cap iU \mbox{\ si\ }\dim_\mathbb C V\leqslant \lceil\frac n 2\rceil\end{cases}

Avant d’en parler ici, j’avais, en guise d’exercice divertissant, proposé sur le forum M@th en Ligne de démontrer cette propriété. Dans sa preuve du premier cas, PB obtenait incidemment un peu plus : étant donné V de dimension complexe r et s\in\{r,r+1,\ldots, 2r\}, on peut trouver U réel et de dimension s tel que V=U+iU. En fait, ce résultat est optimal dans la mesure où, inversement, si U est réel et tel que V=U+iU, alors

r\leqslant \dim_\mathbb R U \leqslant 2r

En effet, on a

2r=\dim_\mathbb R V=\dim_\mathbb R U+\dim_\mathbb R (iU)-\dim_\mathbb R (U\cap iU)

De là,

r \leqslant \dim_\mathbb R U=r+\frac 1 2 \dim_\mathbb R (U\cap iU)\leqslant 2r

puisque U\cap iU est un sous-espace vectoriel complexe de V.

Cela posé, construire un sous-espace vectoriel réel de dimension r+k, k\in\{0,\ldots,r\}, tel que V=U+iU est facile : si (e_1,\ldots,e_r) est une base complexe de V, alors

U=\mathbb C e_1\oplus \cdots \oplus \mathbb C e_k \oplus \mathbb R e_{k+1} \cdots \oplus \mathbb R e_r

convient.

Pour ces considérations, le fait que l’espace vectoriel complexe considéré soit \mathbb C^n est sans importance. Nous pouvons donc énoncer

(2) Soit un sous-espace vectoriel complexe V d’un espace vectoriel complexe E de dimension finie. Il existe un sous-espace vectoriel réel U de E de dimension s tel que V=U+iU si, et seulement si,

\dim_\mathbb C V\leqslant s\leqslant 2\dim_\mathbb C V

Lorsque s=\dim_\mathbb C V, on a V=U\oplus iU et U est ce qu’on appelle une forme réelle de V. A l’opposé, lorsque s=2\dim_\mathbb C V, alors U=V.

Si n=\dim_\mathbb C E et si \dim_\mathbb C V\geqslant \lceil\frac n 2\rceil alors on peut prendre s=n et on obtient le premier cas de (1). Pour obtenir le second, il suffit d’appliquer l’analogue de (2) pour l’intersection, à savoir

(3) Soit un sous-espace vectoriel complexe V d’un espace vectoriel complexe E de dimension finie. Il existe un sous-espace vectoriel réel U de E de dimension s tel que V=U\cap iU si, et seulement si,

2\dim_\mathbb C V\leqslant s\leqslant \dim_\mathbb C E+\dim_\mathbb C V

En réalité, les propriétés (2) et (3) sont équivalentes. Pour le voir, considérons un produit scalaire g sur E (considéré comme espace réel) pour lequel la multiplication par i est une application linéaire réelle antisymétrique(*), i.e. telle que

\forall x, y \in E, \quad g(ix,y)=-g(x,iy)

Pour un tel produit scalaire, comme on le vérifie aisément, si U est un sous-espace vectoriel réel de E, alors

(iU)^\perp=i\left(U^\perp\right)

En particulier, le complément orthogonal d’un sous-espace vectoriel complexe est un sous-espace vectoriel complexe. C’est important pour ce qui suit.

Je vais à présent montrer que (2) implique (3). La réciproque s’établit de manière tout à fait semblable et je ne la détaillerai pas. Supposons donc que V soit un sous-espace vectoriel complexe de dimension complexe r de E(**) .

a) Supposons d’abord que V=U\cap iUU est un sous-espace vectoriel réel de dimension s de E. Alors

V^\perp=U^\perp+(iU)^\perp=U^\perp+i(U^\perp)

Par suite, vu (2), n-r\leqslant 2n-s\leqslant 2(n-r) car \dim_\mathbb R V^\perp=2n-2r et \dim_\mathbb R U^\perp=2n-s. Donc

2\dim_\mathbb C V\leqslant s\leqslant \dim_\mathbb C E+\dim_\mathbb C V

b) Inversement, supposons cette dernière inégalité vérifiée. Alors n-r\leqslant 2n-s\leqslant 2(n-r) et, vu (2) de nouveau, il existe un sous-espace vectoriel réel U_0 de dimension 2n-s tel que V^\perp=U_0+iU_0. Dès lors, V=U\cap iUU=U_0^\perp est un sous-espace vectoriel réel de dimension s.

Voilà, c’est tout pour ce billet!😉
––––––––––
(*) Un tel produit scalaire existe toujours. Par exemple, si (e_1,\ldots,e_n) est une base complexe de E alors le produit scalaire pour lequel la base réelle (e_1,\ldots,e_n,ie_1,\ldots,ie_n) est orthonormée convient.
(**) Nous noterons n celle de E.

Laisser un commentaire

Entrez vos coordonnées ci-dessous ou cliquez sur une icône pour vous connecter:

Logo WordPress.com

Vous commentez à l'aide de votre compte WordPress.com. Déconnexion / Changer )

Image Twitter

Vous commentez à l'aide de votre compte Twitter. Déconnexion / Changer )

Photo Facebook

Vous commentez à l'aide de votre compte Facebook. Déconnexion / Changer )

Photo Google+

Vous commentez à l'aide de votre compte Google+. Déconnexion / Changer )

Connexion à %s