Ciel! Un septième!

Voici une petite chose amusante dont je tenais à vous faire part.

En étudiant récemment la convergence d’une certaine sorte de spirales à propos desquelles j’aurai peut-être un mot à dire sur ce blog, j’ai été amené à déterminer le développement décimal de 3/7 et de 4/7. Quelle ne fut pas ma surprise de constater ce qui suit! Il sont tous deux périodiques(*) et les périodes sont de longueur six. Celle du premier est 428571 et celle du second vaut 571428. Elles sont images l’une de l’autre par la permutation abcdef\mapsto defabc. Les mêmes constatations valent à propos des développements de k/7 et l/7 lorsque la somme de k,l\in\{1,2,3,4,5,6\} vaut 7. Cela se voit directement sur la table suivante où sont données les périodes des développements décimaux des nombres k/7.

\begin{array}{c|c}k & \mbox{p\'eriode}\\ \hline 1 & 142857\\2 & 285714\\3 & 428571\\4 & 571428\\5 & 714285\\6 & 857142\end{array}

Cette table montre aussi que ces périodes se déduisent toutes en appliquant la permutation circulaire abcdef\mapsto bcdefa de façon répétée à l’une d’elles. Par exemple, en désignant une période par la valeur de k qui lui correspond, la suite des périodes obtenues par applications de cette permutation à la première période est

(1) 3\to 2\to 6\to 4\to 5\to 1\to \cdots

On passe d’un terme de cette suite au suivant en multipliant par 3 \mod 7 (qui est encore 10 \mod 7).

Il est possible d’expliquer a priori le fait que les périodes des développements des k/7 sont de longueur six et s’obtiennent par permutations de l’une d’elles. On peut aussi caractériser les nombres premiers p pour lesquels les k/p ont un comportement similaire.

Il suffit pour cela de bien examiner ce qu’il se passe lorsqu’on pose une division longue permettant de trouver le développement de 1/p :

\frac 1 p=0,c_1c_2\cdots

On réalise en fait une suite de divisions euclidiennes

\begin{array}{rcl}10&=&pc_1+m_1\\10 m_1&=&pc_2+m_2\\10m_2&=&pc_3+m_3\\&\vdots&\end{array}

Dès lors, m_j est le reste de la division de 10^j par p.

Pour 7, on a la suite

\begin{array}{c|ccccccc}k&1&2&3&4&5&6 & \cdots \\ \hline m_k&3&2&6&4&5&1 & \cdots\end{array}

La suite des m_k coïncide avec (1). Elle commence par une permutation des six restes non nuls de la division par 7. C’est pourquoi la période du développement décimal de 7 est de longueur six. Cela explique aussi pourquoi les périodes des développements des k/7, k\in\{12,3,4,5,6\}, sont des permutations cycliques de celle du développement de 1/7. En effet, la division longue donnant le développement de k/7 est celle de 1/7 amputée de tout ce qui précède la première apparition de k dans la suite m_j.

Il résulte de ce qui précède que le développement décimal de 1/p est périodique avec une période de longueur p-1 si, et seulement si, les restes de la division par p de 10,100,...,10^{p-1} sont tous différents et non nuls. Si cette condition est réalisée, alors les développement décimaux des nombres k/p, k\in\{1,\ldots,p-1\}, sont périodiques et leurs périodes se déduisent l’une de l’autre par une permutation cyclique.

Pour en savoir plus sur la question, je vous suggère de visiter la page suivante : Weisstein, Eric W. « Full Reptend Prime. » From MathWorld–A Wolfram Web Resource sur laquelle je suis tombé en cherchant à me documenter sur le phénomène observé initialement à propos de 3/7 et 4/7.

Voir également la suite A001913 de Sloane constituée des nombres premiers p vérifiant la condition ci-dessus. Elle commence par : 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97.

__________
(*) Le développement décimal de 1/n est périodique si n est premier avec 10.

Publicités

3 réflexions sur “Ciel! Un septième!

  1. Il faut peut-être préciser que le développement d’un nombre est périodique s’il est de la forme N,uuuuuu\cdots, où N,u\in \mathbb N. Le nombre u \neq 0 est la période du développement s’il est le plus petit possible.

  2. J’avais déjà soumis la chose sur Mel et je suis sûr nous avions eu un échange à ce sujet mais il y a longtemps et je ne retrouve plus le fil 😦
    Sentinelle.

Laisser un commentaire

Entrez vos coordonnées ci-dessous ou cliquez sur une icône pour vous connecter:

Logo WordPress.com

Vous commentez à l'aide de votre compte WordPress.com. Déconnexion / Changer )

Image Twitter

Vous commentez à l'aide de votre compte Twitter. Déconnexion / Changer )

Photo Facebook

Vous commentez à l'aide de votre compte Facebook. Déconnexion / Changer )

Photo Google+

Vous commentez à l'aide de votre compte Google+. Déconnexion / Changer )

Connexion à %s