Sur une famille de spirales

Ce qui suit m’a été inspiré par ce fil de discussion sur le forum M@TH en Ligne.

Considérons un nombre réel \alpha et quatre points non coplanaires A,B,C,D d’un espace affine \mathcal E de dimension trois. Ils sont, dans cet ordre, les quatre premiers éléments X_0,X_1,X_2,X_3 de la suite X_n,n\in\mathbb N, de points de \mathcal E définie par

X_{n+4}=(1-\alpha)X_n+\alpha X_{n+1}

pour n\geqslant 0.

Les X_n sont les sommets d’une ligne polygonale — nous dirons une spirale — dont nous allons nous demander si elle converge. La figure ci-dessous montre le début d’une telle spirale pour \alpha=1/4.

spirale

Les arêtes du tétraèdre ABCD n’appartenant pas à la spirale ont été représentées en pointillé pour souligner le caractère tri-dimensionnel de la figure.

Les points A,B,C,D étant non coplanaires, il existe une seule affinité \mathcal T de \mathcal E vérifiant

\mathcal T(A)=B, \mathcal T(B)=C, \mathcal T(C)=D, \mathcal T(D)=X_4

A cause de la relation de récurrence à laquelle obéit la suite X, il vient

\forall n\in\mathbb N,\quad X_{n+1}=\mathcal T(X_n)

de sorte que si elle converge, c’est vers un point fixe de \mathcal T.

Si \alpha=4, alors \mathcal T n’a pas de point fixe. Dans le cas contraire,

P_\alpha=\frac{1-\alpha}{4-\alpha}A+\frac{1}{4-\alpha}B+\frac{1}{4-\alpha}C+\frac{1}{4-\alpha}D

est son unique point fixe.

En effet, un point P de coordonnées barycentriques (p,q,r,s) par rapport à ABCD est fixe pour \mathcal T si, et seulement si

pA+qB+rC+sD=\mathcal T(P)=pB+qC+rD+s((1-\alpha)A+\alpha B)

En égalant les coefficients de A,B,C,D dans les membres extrêmes, on obtient des équations qui permettent de conclure très facilement.

Nous supposons désormais \alpha \neq 4. Dans le repère d’origine P_\alpha et de base (\overrightarrow{P_\alpha A},\overrightarrow{P_\alpha B},\overrightarrow{P_\alpha C}), on vérifie aisément que l’affinité \mathcal T est représentée par la matrice(*)

T=\begin{pmatrix}0&0&\alpha-1\\1&0&-1\\ 0 &1&-1\end{pmatrix}

Pour étudier la convergence de la spirale, nous aurons à comparer les valeurs absolues des valeurs propres de cette matrice avec 1. Ces valeurs propres sont les zéros du polynôme

f:= x^3+x^2+x+1-\alpha

Sa dérivée est partout strictement positive. Il en résulte d’abord que f admet un seul zéro réel et deux complexes conjugués et donc que T est diagonalisable. Nous noterons u le premier et r\exp(\pm i\theta) les deux autres, où r >0. Ensuite, d’après le théorème des fonctions implicites, il en résulte que, comme fonction de \alpha\in \mathbb R, u est de classe C^\infty et, puisque

u'=\frac{1}{3u^2+2u+1}>0

qu’il est strictement croissant.

Cela étant, u(0)=-1 et u(4)=1 de sorte que |u|1 dans ]-\infty, 0[\cup ]4,+\infty[.

Notez que 1 est le seul zéro de u si bien que

r=\sqrt{\frac{\alpha-1}{u(\alpha)}}

est de classe C^\infty dans le complémentaire de 1. Ceci importe peu pour la suite. Ce qui compte, par contre, c’est que si \alpha\neq 1, alors \rho=r^2 est l’unique zéro réel du polynôme(**)

g:=y^3-y^2-(\alpha-1)y-(\alpha-1)^2

On a

g(0)=-(\alpha-1)^2 \quad \& \quad g(1)=\alpha(1-\alpha)

En particulier, lorsque \alpha\in ]0,1[, g(0) et g(1) sont de signes opposés et, dès lors, \rho\in]0,1[. De plus, si \alpha\notin [0,1], alors g(1) 1 car

\lim_{y\to+\infty}g(y)=+\infty

Le tableau suivant, dans lequel j’ai reporté aussi les valeurs de \rho en 0 et 1, résume ce que nous savons des valeurs propres de T

\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c}\alpha & & 0 & & 1 & & 4 & \\ [1ex] \hline \hline  u &  1\\[1ex] \hline  \rho & > 1 & 1 &  1 & > 1 & > 1\end{array}

outre le fait qu’on puisse trouver un repère \mathcal R:=(P_\alpha,(e_1,e_2,e_3)) de \mathcal E dans lequel \mathcal T est représenté par la matrice

T_\alpha = \begin{pmatrix}u & 0 & 0\\ 0 & r\cos\theta & -r\sin\theta \\ 0 & r\sin\theta & r\cos\theta\end{pmatrix}

La n-ième puissance de cette matrice vaut

T_\alpha^n = \begin{pmatrix}u^n & 0 & 0\\ 0 & r^n\cos(n\theta) & -r^n\sin(n\theta) \\ 0 & r^n\sin(n\theta) & r^n\cos(n\theta)\end{pmatrix}

Par conséquent,

Si \alpha\in]0,1[, alors la suite X converge vers P_\alpha.

car en effet, sous cette condition, |u|,r 1. La convergence éventuelle de la suite X dépend alors de la condition initiale X_0=A.

Si \alpha\notin[0,1], alors la suite X ne converge pas.

Supposons en effet que \alpha\notin[0,1] et montrons par l’absurde que la spirale ne converge pas(***). Notons (a,b,c) les coordonnées de A dans le repère \mathcal R. Celles de X_n sont alors

\left(au^n,r^n\left(b\cos(n\theta)-c\sin(n\theta)\right),r^n\left(b\sin(n\theta)+c\cos(n\theta)\right)\right)

Sous nos hypothèses, r > 1 et, comme la spirale converge, ses coordonnées convergent également. Elles sont en particulier bornées. Il résulte alors facilement de leurs expressions ci-dessus que b=c=0. Mais alors

\overrightarrow{P_\alpha B}=\overrightarrow{\mathcal T}(\overrightarrow{P_\alpha A})=u\overrightarrow{P_\alpha A}

soit B=(1-u)P_\alpha+uA. En comparant la coordonnée barycentrique selon D des deux membres, on obtient u=1, une contradiction car \alpha\neq 4.

Avant de vous quitter, je voudrais faire une petite remarque concernant les spirales obtenues avec la même définition que ci-dessus mais pour des conditions initiales A,B,C,D coplanaires, voire alignées. Elles convergent lorsque \alpha\in]0,1[ et voici pourquoi : supposons, par exemple, les points alignés sur une droite \mathcal D. On choisit alors D' hors de cette droite et C' sur la perpendiculaire en C au plan \pi déterminé par D' et \mathcal D. Nous avons ainsi quatre points non coplanaires A,B,C',D'. La spirale qu’ils déterminent converge, disons vers P. Sa projection orthogonale sur \pi est la spirale déterminée par A,B,C,D' et elle converge vers la projection Q de P. Ensuite, en projetant cette spirale sur \mathcal D parallèlement à DD', on obtient la spirale déterminée par A,B,C,D dont on voit ainsi qu’elle converge, vers la projection de Q.

Lorsque \alpha\notin[0,1], alors que la spirale « spatiale » ne converge pas, il se pourrait que ses projections convergent mais je n’ai pas étudié la chose en détails. Je n’ai même pas cherché d’exemple où cela se produit. Peut-être cela vous tentera-t-il d’examiner ce problème.

😉

__________
(*) Cela signifie que si \mathbf x\in\mathbb R^3 est la coordonnée d’un point P, celle de \mathcal T(P) est T(\mathbf x).
(**) Cela résulte de ce que

f(\frac{\alpha-1}{y})=\frac{\alpha-1}{y^3}\left((\alpha-1)^2+(\alpha-1)y+y^2-y^3\right)

et de l’égalité u=(\alpha-1)/\rho.
(***) On suppose que \alpha ne vaut pas 4 car pour \alpha =4, la spirale ne converge pas puisque \mathcal T n’a pas de point fixe.

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