Sur une famille de spirales II

Je poursuis ici l’article précédent dont je conserve les notations et la terminologie.

La question abordée à présent est de savoir pour quelles valeurs de \alpha la spirale X est de longueur

L_\alpha:=\sum_{n=0}^{+\infty}\|\underbrace{\overrightarrow{X_nX}_{n+1}}_{:=\xi_n}\|

finie.

Il est clair que

\forall n\in \mathbb N,\quad \xi_{n+4}=(1-\alpha)\xi_n+\alpha \xi_{n+1}

Le polynôme caractéristique de cette relation de récurrence est

p:=x^4-\alpha x-(1-\alpha)=(x-1)\left(x^3+x^2+x+(1-\alpha)\right)

a) Cas \alpha\in]0,1[.

Les racines de ce polynôme sont alors 1,u,r\exp(\pm i\theta) et sont toutes différentes. Il existe donc des éléments \mathbf{a, b, c, d} de \overrightarrow{\mathcal E} tels que

(1) \forall n\in \mathbb N,\quad \xi_n=\mathbf a + u^n\mathbf b+r^n\cos(n\theta)\mathbf c+r^n\sin(n\theta)\mathbf d

Comme |u|,r < 1, \xi_n converge vers \mathbf a mais, vu que X converge, cette limite doit être nulle. Ainsi

\|\xi_n\|\leqslant \|\mathbf b\||u|^n+\left(\|\mathbf c\|+\|\mathbf d\|\right)r^n

Le membre de droite est le terme général d’une série convergente. Par suite,

Si \alpha\in]0,1[, alors la longueur L_\alpha de la spirale est finie.

b) Cas \alpha\in\{0,1\}

Ici, la spirale est pseudopériodique et sa longueur est infinie.

c) Cas \alpha\notin[0,1] et\alpha\neq 4

Dans ce cas, les zéros de p sont encore tous distincts et \xi_n est encore de la forme (1). Montrons, par l’absurde, que la suite \xi ne converge pas vers zéro. Projetons orthogonalement les choses sur une direction \mathbf e quelconque. Il vient(*)

\begin{cases}x_n=a+bu^n+cr^n\cos(n\theta)+dr^n\sin(n\theta)\\x_{n+1}=a+bu^{n+1}+cr^{n+1}\cos((n+1)\theta)+dr^{n+1}\sin((n+1)\theta)\\x_{n+2}=a+bu^{n+2}+cr^{n+2}\cos((n+2)\theta)+dr^{n+2}\sin((n+2)\theta)\\x_{n+3}=a+bu^{n+3}+cr^{n+3}\cos((n+3)\theta)+dr^{n+3}\sin((n+3)\theta)\end{cases}

Ces relations constituent un système de quatre équations en les inconnues a,b,c,d. En utilisant les formules de Cramer, on voit que, puisque la suite x tend vers 0 et r>1, a,c,d sont nuls. Par exemple(**)

c=\frac{\det\begin{pmatrix}1 & 1 & x_n & \sin(n\theta)\\1 & u & x_{n+1} & r\sin((n+1)\theta)\\1 & u^2 & x_{n+2} & r^2\sin((n+2)\theta)\\1 & u^3 & x_{n+3} & r^3\sin((n+3)\theta)\end{pmatrix}}{r^n\det\begin{pmatrix}1 & 1 & \cos(n\theta) & \sin(n\theta)\\1 & u & r\cos((n+1)\theta) & r\sin((n+1)\theta)\\1 & u^2 & r^2\cos((n+2)\theta) & r^2\sin((n+2)\theta)\\1 & u^3 & r^3\cos((n+3)\theta) & r^3\sin((n+3)\theta)\end{pmatrix}}

montre que c\to 0. Pour b, on ne sait pas conclure car il peut arriver que |u| < 1. Quoi qu’il en soit, nous avons notre contradiction. En effet, la conclusion de ce qui précède est que \mathbf{a,c,d} sont nuls. En particulier,

\overrightarrow{BC}=\xi_1=u\xi_0=u\overrightarrow{AB}

ce qui montre que A,B,C sont alignés, contrairement aux hypothèses.

d) Cas \alpha=4

Dans ce cas, 1 est racine double du polynôme p (car alors u=1). Par suite, la forme générale de \xi_n est différente de celle donnée en (1) :

\forall n\in \mathbb N,\quad \xi_n=\mathbf a + n\mathbf b+r^n\cos(n\theta)\mathbf c+r^n\sin(n\theta)\mathbf d

On peut directement prouver que \mathbf b est nul, puis, comme dans le cas précédent, montrer par l’absurde que \xi ne tend pas vers 0 (on a encore r > 1). Ce dernier point, je vous le laisse mais j’explique comment vérifier que \mathbf b est nul. Vu que r\exp(i\theta) est un zéro de p, il vient

-3\xi_0+\xi_1+\xi_2+\xi_3=6\mathbf b=-3\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DX_4}=0

comme on le vérifie aussitôt. Donc \mathbf b = 0.

Au total, il résulte de b), c) et d) que

Si \alpha\notin]0,1[, alors la spirale X est de longueur infinie.

😉

__________
(*) Les lettres x,a,b,c,d représentent les projections sur \mathbf e de \xi,\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c, \mathbf d.
(**) Il est facile de vérifier que le déterminant du dénominateur n’est pas nul, en se ramenant à un déterminant de Vandermonde.

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