Les espaces tangents sont-ils disjoints?

Voilà une question simple posée par un étudiant lorsque j’introduisais, il y a peu, la notion de fibré tangent d’une variété différentielle. La réponse, elle, n’est pas simple : ils ne le sont pas toujours mais doivent l’être. Ainsi formulée, ce n’est qu’un slogan. Elle est en effet contradictoire et, dès lors, inacceptable mais elle comporte cependant une grande part de vérité et demande des éclaircissements.

Les tangentes à un cercle en des points qui ne sont pas diamétralement opposés se coupent toujours en un point et, le plus souvent, les espaces tangents en des points distincts d’une variété plongée dans un espace euclidien sont généralement sécants. Ils peuvent même coïncider. Dans ces exemples, l’espace tangent est une variété affine passant par le point de tangence mais le phénomène serait plus prononcé si on considérait à la place leurs sous-espaces vectoriels directeurs car alors, tous les espaces tangents en ce sens ont en commun le vecteur nul. Certains peuvent également coïncider comme par exemple, les sous-espaces vectoriel directeurs des espaces tangents à une sphère en des points diamétralement opposés.

En géométrie différentielle abstraite, les variétés ne sont pas contenues dans un quelconque espace ambiant et, dès lors, les espaces tangents sont des espaces vectoriels abstraits. Le fait qu’ils soient disjoints ou non dépend alors de la définition adoptée pour les vecteurs tangents. Il y en a plusieurs possibles et je vais en considérer deux, assez répandues.

Dans la première, un vecteur tangent en a à une variété M est une classe d’équivalence de courbes de M pour la relation \tau_a selon laquelle deux courbes (I,\gamma) et (J,\eta) sont équivalentes si il existe t\in I et s\in J tels que \gamma(t)=\eta(s)=a et

\forall f\in C^\infty(M,\mathbb R), \quad (f\circ\gamma)'(t)=(f\circ\eta)'(s)

Avec cette définition, il est facile de définir la dérivée d’une fonction dans la direction d’un vecteur tangent et cette dérivée est simple à calculer en coordonnées locales. Par contre, la structure d’espace vectoriel de l’ensemble T_aM des vecteurs tangents à M en a ne se manifeste pas de façon naturelle. Cela étant, si les points a,b de M sont distincts, alors les espaces T_aM et T_bM sont disjoints car dans toute classe d’équivalence de \tau_a, on trouve des courbes qui, ne passant pas par b, ne se trouvent dans aucune classe de \tau_b.

Dans la seconde approche, un vecteur tangent en a est une dérivation de la \mathbb R-algèbre associative C^\infty(M,\mathbb R) au-dessus de l’évaluation ev_a. Autrement dit, c’est une application linéaire \mathbf h :C^\infty(M,\mathbb R)\to \mathbb R vérifiant la règle de Leibniz en a :

\forall f, g\in C^\infty(M,\mathbb R), \quad \mathbf h(fg)=\mathbf h(f)g(a)+f(a)\mathbf h(g)

Ici, la structure d’espace vectoriel de T_aM est limpide : c’est évidemment un sous-espace vectoriel du dual de C^\infty(M,\mathbb R). Par contre, il faut un peu travailler pour déterminer sa dimension et voir à quoi ressemble l’expression locale d’un vecteur tangent dans une carte de la variété. De plus, tous les espaces tangents ont le zéro du dual de C^\infty(M,\mathbb R) en commun. On peut, cela noté, vérifier que si a,b sont distincts, c’est le seul élément commun à deux espaces tangents :

a\neq b\quad \Longrightarrow \quad T_aM\cap T_bM = \{0\}

ce qui fournit un exemple amusant d’une famille infinie de sous-espaces vectoriels en position de somme directe(*).

Mais, au fond, pourquoi vouloir que les espaces tangents soient disjoints? Tout simplement pour définir le fibré tangent TM et sa projection \pi_M sur la variété M. Naturellement, on a envie de dire que TM est l’ensemble de tous les vecteurs tangents à M et que \pi_M associe à chaque vecteur tangent le point en lequel il est tangent. Ceci fonctionne bien avec la première définition tandis qu’avec la seconde, cela pose problème car 0 est tangent en tous les points de la variété. Que dire alors dans le cas des variétés plongées dans un espace euclidien et leurs variétés affines tangentes qui se coupent pratiquement toujours! La solution consiste bien entendu à prendre l’union disjointe des espaces tangents. Elle est formée des couples (a,\mathbf h)a\in M et \mathbf h\in T_aM. La projection est alors définie sans ambiguïté : \pi_M(a,\mathbf h)=a et tout le reste (la définition de la structure de variété, etc.) suit alors sans plus de problèmes, de façon assez canonique, d’ailleurs.

Lorsqu’ils rencontrent la chose pour la première fois, les étudiants sont un peu mal à l’aise, mais ils finissent par s’y faire et même bien vite oublier la difficulté posée par la définition de TM.
__________
(*) Je n’ai pas réfléchi à ce que peut bien être l’espace \bigoplus_{a\in M}T_aM.

4 réflexions sur “Les espaces tangents sont-ils disjoints?

  1. Les vecteurs d’une variété ne sont-ils pas aussi des distributions très particulières ? Plus précisément, la dérivée d’une Dirac. On pourrait interpréter la somme directe mentionnée comme un sous-espace de l’espace des distributions (tempérées) alors ? Je n’ai pas poussé ma réflexion ; je suppose que quelqu’un a déjà réfléchi en ces termes.

  2. Cher Pierre Lecomte, j’ai une question à ce sujet. La construction du fibré tangent est-elle la seule raison pour laquelle on considère les espaces tangents comme disjoints? Je comprends l’idée, mais cela me semble aller un peu loin. Dans les applications en physique et en mécanique, on rencontre l’espace tangent chaque fois que l’on veut considérer des relations locales entre les valeurs de fonctions définies sur la variété. Par exemple si on veut formuler une loi physique locale, on peut l’exprimer en général sous forme d’une équation différentielle ou aux dérivées partielles et les opérateurs de dérivation sont dans l’espace tangent, ils en forment une base. Or, tant que l’on considère de telles relations locales, l’intersection de deux espaces tangents, qui est une propriété non locale, est de peu d’intérêt (bien que cela puisse avoir un intérêt mathématique par ailleurs, mais évidemment pas de le même contexte). Il me semble que quand on comprend cela on en arrive à accepter beaucoup plus naturellement l’idée d’union disjointe des espaces tangents, ainsi que celle du fibré tangent.

  3. C’est en tout cas un point de vue intéresant et qui mérite réflexion, merci beaucoup! Je n’y ai naturellement pas encore réfléchi. Cela dit, il me semble qu’on introduit le fibré tangent pour pouvoir définir la dérivée d’une fonction entre variétés. Si f:M\to N est une fonction différentiable entre deux variétés différentielles, sa dérivée est de même nature : c’est une fonction f_*:TM\to TN entre deux variétés, et d’un ordre de différentiabilité inférieur d’une unité à celui de f.
    En ce qui concerne les aspect locaux vs. globaux, ils ont conduit à l’introduction des connexions linéaires permettant, via le transport parallèle, de comparer des espaces tangents en des points voisins. Entre autre, cela conduit à la notion de dérivée covariante de champs de vecteurs : il n’existe pas de façon naturelle de définir la dérivée d’un champ de vecteur dans la direction d’un vecteur tangent mais la donnée d’une connexion linéaire en donne une canoniquement. Ce qui est amusant et donne à réfléchir c’est qu’il existe beaucoup de connexions linéaires, qu’elles donnent essentiellement les mêmes développement géométriques mais qu’il n’en existe aucune qui soit canonique sur l’ensemble de toutes les variétés. Finalement, la question sur les espaces tangents disjoints semble plus profonde qu’initialement perçu!

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