Une brève : la topologie des variétés est accessible!

Au niveau de la définition, la topologie des variétés différentielles s’apparente au problème de la barbe : dort-on avec la barbe en-dessous ou au-dessus de la couverture? Il y a deux possibilités et, très vraisemblablement, statistiquement, chacune est adoptée par 50% des auteurs.

Dans les deux cas, une structure de variété d’un ensemble M est définie par un atlas saturé, c’est-à-dire un ensemble maximal de cartes compatibles de M dont les domaines le recouvrent.

Dans un cas, M est supposé être un espace topologique et les domaines des cartes sont ouverts, par définition.
Dans l’autre cas, M est quelconque de même que les domaines des cartes et on montre ensuite que les domaines des cartes forment une base pour une topologie de M. Je suis plutôt partisan de la seconde approche.

Qu’elle vienne a priori ou a posteriori, la topologie de la variété est généralement supposée séparée et, le plus souvent, à base dénombrable. C’est sans doute pourquoi je n’ai jamais vraiment réfléchi à quels axiomes de séparations satisfont les variétés différentielles. Du coup, je n’avais jusqu’il y a peu jamais fait attention au fait que les variétés sont toutes accessibles ce qui signifie que deux points y sont toujours l’un logé dans un ouvert qui ne contient pas l’autre.

Et c’est trivial, en plus! En effet, soient deux points a,b d’une variété. Le point a est dans le domaine U d’une de ses cartes. Si b est dans U alors c’est gagné car U est homéomorphe à un ouvert de \mathbb R^n qui est accessible. Sinon, c’est gagné aussi!

😉

2 réflexions sur “Une brève : la topologie des variétés est accessible!

  1. Une variété est donc automatiquement accessible (je ne connaissait pas le terme) mais pas automatiquement séparée, c’est bien ça ?

  2. Exactement!
    A propos de la nomenclature, un espace accessible est dit aussi \mathbf T_1 et séparé \mathbf T_2.
    Voici un exemple de variété non séparée. Notons U l’ensemble des réels non nuls et a_1,a_2 deux éléments non réels. La variété est l’ensemble M=U\cup\{a_1,a_2\} muni de l’atlas formé des cartes (U_i, \varphi_i)\varphi_i : U_i\to \mathbb R est l’identité sur U et applique a_i sur 0. Ses ouverts sont ceux de U et les ouverts de \mathbb R contenant zéro, privés de celui-ci et augmentés d’un des a_i ou des deux. Les points a_i mettent en défaut le caractère séparé de la variété.

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