Il y a peu, j’ai eu besoin de la propriété suivante, non optimisée, que je vous propose sous forme d’un exercice, qui ne devrait pas être trop difficile à résoudre. Des éléments 
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Il y a peu, j’ai eu besoin de la propriété suivante, non optimisée, que je vous propose sous forme d’un exercice, qui ne devrait pas être trop difficile à résoudre. Des éléments
Bonjour !
Il me semble qu’on peut reformuler l’énoncé ainsi : soit K un corps commutatif (non nécessairement de caractéristique nulle) et soit P un élément de l’algèbre K[X] qui engendre cette algèbre (engendre au sens des algèbres); montrer que P est de degré 1.
Démonstration : comme P engendre K[X], tout élément de K[X] est un polynôme en P. En particulier, X lui-même peut s’écrire X=Q(P) pour un certain polynôme Q. En considérant les degrés : 1=deg(Q)deg(P), donc P est bien de degré 1.
D’accord pour la preuve de ton énoncé. C’est d’ailleurs comme cela que je termine la preuve du mien. A propos de la caractéristique, je n’ai pas approfondi. Mais l’équivalence demande des arguments supplémentaires, à mon avis. En dimension finie, par exemple, un endomorphisme annule un polynôme non nul. On pourrait donc avoir
sans que le polynôme composé 
soit nul. C’est le rôle de l’hypothèse selon laquelle les puissances de 
sont linéairement indépendantes d’impliquer que cela soit le cas. Mais c’est peut-être ce que tu sous-entends.
Oui, j’avais en tête les équivalences entre les assertions suivantes que je n’ai pas rappelées :
(1) x est transcendant sur K
(2) le morphisme canonique de K[X] dans K[x] est un isomorphisme
(3) K[x], qui est le sous-espace vectoriel engendré par les puissances de x, est de dimension infinie
Alors nous sommes en phase : j’ai la même preuve que toi 🙂
Une question voisine est sans doute : décrire les automorphismes de la K-algebre K[X] 🙂
Ce doit être connu, non? (Mais pas de moi — je veux dire maintenant, car je ne suis pas très versé en algèbre mais, naturellement, je n’ai pas non plus consulté la littérature sur la question!) Aie, cela ne nous mènerait-il pas à une célèbre conjecture?
Oh, les automorphismes de K[X] c’est très simple : ce sont les applications f de la forme f(P)=P(aX+b) avec a non nul. Interprétation géométrique : les automorphismes de la droite affine (en tant que variété algébrique) sont les bijections affines.
Pour la conjecture célèbre en rapport, je ne vois pas.
Autre exercice analogue : trouver les K-automorphismes du corps K(X) (indication : l’interprétation géométrique se fera dans la droite projective :-).
ok merci! Je n’avait guère réfléchi avant de te répondre et je pensais à la conjecture jacobienne. Tu vois à quel point je m’égarais… L’interprétation géométrique est bien agréable…