En guise d’exercice : polynômes et algèbre

Il y a peu, j’ai eu besoin de la propriété suivante, non optimisée, que je vous propose sous forme d’un exercice, qui ne devrait pas être trop difficile à résoudre. Des éléments x,y d’une algèbre associative avec unité sur un corps \mathbf K de caractéristique nulle sont tels que l’enveloppe linéaire des puissances de y est de dimension infinie et est égale à celle des puissances de x. Il s’agit de montrer qu’il existe a, b\in \mathbf K tels que y=ax+b et a\neq 0.

8 réflexions sur “En guise d’exercice : polynômes et algèbre

  1. Bonjour !
    Il me semble qu’on peut reformuler l’énoncé ainsi : soit K un corps commutatif (non nécessairement de caractéristique nulle) et soit P un élément de l’algèbre K[X] qui engendre cette algèbre (engendre au sens des algèbres); montrer que P est de degré 1.

    Démonstration : comme P engendre K[X], tout élément de K[X] est un polynôme en P. En particulier, X lui-même peut s’écrire X=Q(P) pour un certain polynôme Q. En considérant les degrés : 1=deg(Q)deg(P), donc P est bien de degré 1.

  2. D’accord pour la preuve de ton énoncé. C’est d’ailleurs comme cela que je termine la preuve du mien. A propos de la caractéristique, je n’ai pas approfondi. Mais l’équivalence demande des arguments supplémentaires, à mon avis. En dimension finie, par exemple, un endomorphisme annule un polynôme non nul. On pourrait donc avoir y=p(q(y)) sans que le polynôme composé p(q(t))-t soit nul. C’est le rôle de l’hypothèse selon laquelle les puissances de y sont linéairement indépendantes d’impliquer que cela soit le cas. Mais c’est peut-être ce que tu sous-entends.

    • Oui, j’avais en tête les équivalences entre les assertions suivantes que je n’ai pas rappelées :
      (1) x est transcendant sur K
      (2) le morphisme canonique de K[X] dans K[x] est un isomorphisme
      (3) K[x], qui est le sous-espace vectoriel engendré par les puissances de x, est de dimension infinie

    • Ce doit être connu, non? (Mais pas de moi — je veux dire maintenant, car je ne suis pas très versé en algèbre mais, naturellement, je n’ai pas non plus consulté la littérature sur la question!) Aie, cela ne nous mènerait-il pas à une célèbre conjecture?

      • Oh, les automorphismes de K[X] c’est très simple : ce sont les applications f de la forme f(P)=P(aX+b) avec a non nul. Interprétation géométrique : les automorphismes de la droite affine (en tant que variété algébrique) sont les bijections affines.
        Pour la conjecture célèbre en rapport, je ne vois pas.
        Autre exercice analogue : trouver les K-automorphismes du corps K(X) (indication : l’interprétation géométrique se fera dans la droite projective🙂.

      • ok merci! Je n’avait guère réfléchi avant de te répondre et je pensais à la conjecture jacobienne. Tu vois à quel point je m’égarais… L’interprétation géométrique est bien agréable…

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