A propos de la comatrice III

Une remarque de PB sur la trace de la comatrice m’a incité, sur le forum M@th en Ligne, à déterminer ce que j’appelle les invariants fondamentaux de A^\diamond. Les formules obtenues interpolent celle signalée par PB et celle relative au déterminant donnée dans cet article (et dans lequel on trouvera les définitions et notations utilisées ici). Je vais consigner ici ces formules, à des fins d’archivage autant que pour compléter les articles antérieurs de ce blog consacrés à la comatrice.

Posons d’abord, pour toute matrice carrée M de taille n

\det(M-\lambda)=\sum_{i=0}^n(-\lambda)^{n-i}\chi_i(M)

Les polynômes

\chi_0(M)=1,\quad \chi_1(M)=\mathrm{tr}\ M,\ldots,\quad\chi_n(M)=\det M

engendrent l’algèbre des polynômes en M qui sont invariants par similitude. Ils sont donc définis pour tout endomorphisme A d’un espace vectoriel réel E : \chi_i(A)=\chi_i(M) si M représente A dans une base de E. Ce sont eux que j’appelle invariants fondamentaux de A.

Les formules annoncées sont les suivantes. Si A est un endomorphisme d’un espace vectoriel réel E muni d’une forme bilinéaire symétrique et non dégénérée g alors

\forall i\in\{0,\ldots,n\},\quad \chi_i(A^\diamond)=(\det A)^{i-1}\chi_{n-i}(A)

Elles sont simples à vérifier. On peut par exemple, par densité, se ramener aux applications non singulières, pour lesquelles

A^\diamond=(\det A)\tilde A^{-1}

de sorte que(*)

\det(A^\diamond-\lambda)=\frac{(-\lambda)^n}{\det A}\det(A-\frac{\det A}{\lambda})

De là

\begin{array}{rcl}\det(A^\diamond-\lambda)&=&\sum_{i=0}^n(-\lambda)^{n-i}\chi_i(A^\diamond)\\[1ex]&=&\frac{(\lambda)^n}{\det A}\sum_{i=0}^n\left(-\frac{\det A}{\lambda}\right)^{n-i}\chi_i(A)\\[1ex]  &=&\frac{1}{\det A}\sum_{i=0}^n(-\lambda)^{n-i}(\det A)^i\chi_{n-i}(A)\end{array}

Les formules en résultent immédiatement.

___________
(*) profitant du fait que \det \tilde A=\det A

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