Sur des sommes remarquables liées au champ d’Euler en dimension 1

Ce qui suit m’a été inspiré par cet article de PB dans lequel il propose de montrer que, étant donné un naturel k, pour p=0,...,k,

(1) \frac{1}{k!}\sum_{i=0}^k{k\choose i}(-1)^{k-i}i^p=\delta_{p,k}

Après les avoir établies (selon une méthode exposée ci-dessous), je me suis demandé ce qu’il advient du membre de gauche de cette égalité lorsque p>k. Je ne lui ai pas trouvé de forme « fermée », analogue au membre de droite. Par contre, je suis tombé sur quelques propriétés amusantes de cette sorte de sommes, propriétés qui s’expliquent assez bien à l’aide de l’opérateur différentiel

E=x\frac{d}{dx}

en lequel les familiers de la géométrie différentielle reconnaitront le champ d’Euler en dimension 1. Pour rappel, une des propriétés clés de ce dernier est de multiplier les fonctions homogènes par leur poids.

Pour chaque naturel k, notons E_k l’application linéaire

u \mapsto x^k\frac{d^ku}{dx^k}

de C^\infty(I,\mathbb R) dans lui-même(*). On a donc E=E_1 tandis que E_0 est l’identité sur C^\infty(I,\mathbb R).

Il est clair que, pour un naturel p donné, il existe des nombres e^p_k, k=0,...,p, tels que(**)

(2) E^p=\sum_{k=0}^pe^p_kE_k

Une récurrence

La relation E\circ E_k=kE_k+E_{k+1} permet de démontrer facilement une première propriété des e^p_k.

Les coefficients e^p_k vérifient

e^{p+1}_0=0

\forall k\in\{1,\ldots,p\},\quad e^{p+1}_k=e^p_{k-1}+ke^p_k

e^{p+1}_{p+1}=e^p_p

En particulier, e^p_0=0 pour p>0 et e^p_1=e^p_p=1.

On peut exploiter ces relations pour calculer, de proche en proche, e^p_2,e^p_3,\ldots, e^p_k,\ldots pour les premières valeurs de k. En effet, une fois connue la suite p\mapsto e^p_{k-1}, on calcule e^p_k en résolvant l’équation de récurrence

e^{p+1}_k-ke^p_k=e^p_{k-1}, e^k_k=1

On trouve ainsi

e^p_2=2^{p-1}-1, \quad e^p_3=\frac 1 2\left(3^{p-1}-2^p+1\right)

mais il me semble pénible d’aller beaucoup plus loin dans cette voie.

Une formule

Pour tous naturels p,k tels que p\geqslant k, on a

e^p_k=\frac{1}{k!}\sum_{i=0}^k{k\choose i}(-1)^{k-i}i^p

Pour le vérifier, appliquons les deux membres de (2) à la fonction u: x\mapsto (x-1)^k. D’une part, d’après la formule du binôme,

E^p(u)=\sum_{i=0}^k{k\choose i}(-1)^{k-i}i^px^i

D’autre part, E_i(u)=0 pour i>k tandis que, pour 0\leqslant i\leqslant k,

E_i(u)=\frac{k!}{(k-i)!}x^i(x-1)^{k-i}

Au total,

(3) \sum_{i=0}^k{k\choose i}(-1)^{k-i}i^px^i=\sum_{i=0}^k\frac{k!}{(k-i)!}e^p_ix^i(x-1)^{k-i}

et la formule annoncée s’obtient en évaluant cette relation en x=1.

Puisque e^k_k=1, en faisant p=k dans cette formule, on obtient (1) dans le cas où p=k. Pour obtenir (1) pour les autres valeurs de p, il suffit de noter que si p<k, alors (3) devient

\sum_{i=0}^k{k\choose i}(-1)^{k-i}i^px^i=\sum_{i=0}^p\frac{k!}{(k-i)!}e^p_ix^i(x-1)^{k-i}

qu’on évalue de nouveau en x=1 pour conclure.

D’autres relations impliquant les e^p_k

Avec d’autres fonctions u, la tactique de la démonstration précédente donne de nouvelles propriétés des coefficients e^p_k. Voici un exemple.

Prenons pour u l’application x\mapsto x^s, où s est un nombre réel. Comme elle est homogène de poids s, on a E^p(u)=s^pu. D’un autre côté, on vérifie facilement que

E_k(u)=s(s-1)\cdots(s-k+1)u

En appliquant les deux membres de (2) à u, on obtient alors la relation

\sum_{k=0}^ps(s-1)\cdots(s-k+1)e^p_k=s^p

Avec s=-1, cela donne en particulier

\sum_{k=0}^p(-1)^kk!e^p_k=(-1)^p

et, si n est un naturel, il vient

n^p=\sum_{k=0}^p\frac{n!}{(n-k)!}e^p_k

à condition de poser n!/(n-k)!=0 lorsque n<k.
__________
(*) On désigne par I un intervalle ouvert de nombres réels.
(**) On désigne par E^p le p-ième itéré

\underbrace{E\circ \cdots \circ E}_{p}

de E.

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2 réflexions sur “Sur des sommes remarquables liées au champ d’Euler en dimension 1

  1. Merci pour ce point de vue original (champs de vecteurs). Je posterai probablement bientôt quelques autres façons de calculer ces sommes.

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