Puissances et inégalités en nombres entiers, une remarque en passant

Nous avons tous rencontré, à plusieurs reprises, sur les bancs de l’école ou dans les manuels scolaires, des inégalités du genre : si n est un nombre naturel supérieur ou égal à 3, alors

2^n>2n+1

et nous en avons peut-être proposé à nos étudiants pour illustrer la méthode de démonstration par récurrence.

D’un autre côté, grâce au cours d’analyse, nous savons également que l’exponentielle l’emporte en \pm\infty sur toute puissance antagoniste. En conséquence, si P est un polynôme (à coefficients réels), alors

\lim_{x\to+\infty}\quad 2^{-x}P(x)=0

ce qui nous donne une généralisation de l’inégalité précédente : il existe un nombre M tel que, pour tout naturel n\geqslant M,

2^n>P(n)

inégalité dans laquelle on peut d’ailleurs remplacer 2 par n’importe quel entier qui le dépasse, avec le même seuil M.

Même si la propriété de l’exponentielle en question est facile à prouver, du moins avec la définition de l’exponentielle comme série de puissances, il est légitime, et amusant, de chercher une preuve de l’inégalité précédente qui ne repose que sur les propriétés arithmétiques élémentaires des nombres entiers. Je vous en propose une ci-dessous dans laquelle je me limite aux polynômes à coefficients entiers(*). De façon précise, je vais établir par récurrence sur d que

Pour tout polynôme à coefficients entiers P de degré d, il existe un nombre M tel que pour tout entier naturel n\geqslant M, 2^n>P(n).

Dans le cas de base, le polynôme est réduit à son terme constant a. S’il est négatif, ou nul, M=0 convient évidemment. S’il est positif, alors, compte tenu de ce que

2^p=2^{p-1}+2^{p-1}>2^{p-1}+1

si p>1, il vient, pour n>a,

2^n>2^{n-1}+1>2^{n-2}+2>\cdots>2^{n-a}+a>a

et M=a+1 convient.

Supposons alors la propriété vraie pour d < p et vérifions la pour les polynômes à coefficients entiers de degré p. Soit P un tel polynôme.

Notons f la fonction n\mapsto 2^n-P(n). On a

f(n+1)-f(n)=2^n-\left[P(n+1)-P(n)\right]

Le degré du polynôme entre crochets du membre de droite est strictement plus petit que p de sorte que, par hypothèse de récurrence, le membre de droite est strictement positif pour n assez grand. La fonction f est donc strictement croissante dans un voisinage de +\infty dans \mathbb N. Comme ses valeurs sont entières, elle ne peut y prendre qu’un nombre fini de fois une valeur négative : la cause est entendue! 😉

__________
(*) Ce n’est pas une restriction puisque tout polynôme à coefficients réels est majoré dans \mathbb N par celui qu’on obtient en y remplaçant chaque coefficient a par \lceil a\rceil s’il est positif et par -\lfloor |a| \rfloor sinon.

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Une réaction sur “Puissances et inégalités en nombres entiers, une remarque en passant

  1. En fait, strictement parlant, la propriété énoncée de l’exponentielle concerne initialement la fonction x\mapsto e^x.

    J’aurais peut-être du expliciter pourquoi elle s’applique aussi à x\mapsto 2^x et plus généralement à x\mapsto a^x pour les a plus grand que 1 : leurs logarithmes népériens sont strictement positifs et

    a^x=e^{x\ln a}

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