Produits mixte et vectoriel I – Bases et G-structures

Considérons un espace vectoriel réel E de dimensionn>1. Une orientation et un produit scalaire g de E permettent de construire un produit mixte

(x_1,\ldots,x_n)\in E^n \mapsto [x_1,\ldots,x_n]\in\mathbb R

et un produit vectoriel

(x_1,\ldots,x_{n-1})\in E^{n-1} \mapsto x_1\wedge\cdots\wedge x_{n-1}\in E

Le premier associe à des éléments de E le déterminant de la matrice de leurs composantes dans une base orthonormée positive, par ailleurs quelconque, tandis que le second est défini par la relation

(1) (x_1\wedge\cdots\wedge x_{n-1})^\flat(x)=[x_1,\ldots,x_{n-1},x]

\flat : E\to E^* est la mise en dualité associée à g(*) :

\forall x,y\in E, \quad x^\flat(y)=g(x,y)

Le produit mixte est une forme volume sur E, c’est-à-dire une application multilinéaire antisymétrique non nulle de E^n dans \mathbb R. Or une telle forme \omega induit une orientation de E ainsi qu’une application multilinéaire antisymétrique \wedge_\omega : E^{n-1}\to E via l’analogue de la formule (1) :

\left(\wedge_\omega(x_1,\ldots,x_{n-1})\right)^\flat(x)=\omega(x_1,\ldots,x_{n-1},x)

Avec l’orientation induite par la forme volume, le produit scalaire donne lieu à des produits mixte et vectoriel qu’on aimerait comparer à la forme et à \wedge_\omega. C’est dans ce but que j’écris les quelques articles de nom générique « Produits mixte et vectoriel » dont vous êtes en train de lire le premier.

Bases

Usuellement, on envisage une base de E comme étant une suite \mathfrak{B}=(e_1,\ldots,e_n) d’éléments linéairement indépendants de E. Tout élément x de E s’écrit alors de façon unique

x=x^1e_1+\cdots+x^ne_n

Les nombres (x^1,\ldots,x^n) sont les composantes de x dans la base considérée. L’application

(2) x\in E\mapsto (x^1,\ldots,x^n)\in\mathbb R^n

est une bijection linéaire. Elle transforme la base \mathfrak{B} en la base canonique (\overrightarrow{e_1},\ldots,\overrightarrow{e_n}) de \mathbb R^n.

Afin de faciliter la présentation de certaines notions et de certaines preuves, nous allons adopter une autre définition. Nous dirons que \mathfrak B est une base au sens classique et nous appellerons base de E, sans autre précision, toute bijection linéaire \mathbf b:\mathbb R^n\to E. Il s’agit juste d’un simple changement de point de vue car, pour le reste, les deux notions sont équivalentes. En effet, la correspondance qui associe à une base au sens classique \mathfrak B la réciproque de l’application (2) est une bijection entre l’ensemble des bases au sens classique de E et celui des bijections linéaires de \mathbb R^n dans E.

Action de GL(n,\mathbb R) sur les bases de E

L’ensemble des bases de \mathbb R^n n’est autre que l’ensemble des bijections linéaires de \mathbb R^n sur lui-même. C’est donc un groupe pour la composition des applications. Il est d’habitude désigné par GL(n,\mathbb R) et on en note ST=S\circ T la multiplication.

L’ensemble \mathcal B(E) des bases de E n’est pas un groupe mais, par contre, GL(n,\mathbb R) opère dessus à droite par l’action

(\mathbf b,S)\mapsto \mathbf b.S:=\mathbf b\circ S

En effet, \mathbf b.(ST)=(\mathbf b.S).T=\mathbf b\circ S\circ T. De plus, cette action est transitive et libre car si \mathbf b,\mathbf b'\in\mathcal B(E), alors il existe un unique S\in GL(n,\mathbb R) pour lequel \mathbf b'=\mathbf b.S, à savoir \mathbf b^{-1}\circ\mathbf b'.

Gstructures

Soit un sous-groupe G de GL(n,\mathbb R). En restreignant l’action de ce dernier à G, on fait opérer G sur \mathcal B(E). L’action obtenue est encore libre mais elle n’est généralement pas transitive. Par définition, une Gstructure de E est une orbite de cette action. C’est donc un ensemble maximal \mathcal B de bases de E tel que

\forall \mathbf b,\mathbf b' \in \mathcal B, \quad \mathbf b^{-1}\circ\mathbf b'\in G

Voici les sous-groupes G que nous allons considérer(**) :

\begin{array}{|l|l|}\hline \mbox{Nom} & \mbox{Description}\\\hline \hline GL(n,\mathbb R)_+ & \{A\in GL(n,\mathbb R)| \det A >0\}\\ SL(n,\mathbb R) &  \{A\in GL(n,\mathbb R)| \det A=1\}\\O(n) & \{A\in GL(n,\mathbb R)| ^tAA={\bf 1}\}\\SO(n) & O(n)\cap GL(n,\mathbb R)_+\\\hline\end{array}

De façon générale, si G_1,G_2 sont des sous-groupes de GL(n,\mathbb R) et si G_1\subset G_2, alors toute G_1-structure \mathcal B_{G_1} détermine une unique G_2-structure qui la contient, à savoir

(3) \mathcal B_{G_1}.G_2=\left\{\mathbf b.S|\mathbf b\in\mathcal B_{G_1}, S\in G_2 \right\}

Or

SO(n)\subset SL(n,\mathbb R)\subset GL(n,\mathbb R)_+

Par conséquent, une SO(n)-structure est contenue dans une SL(n,\mathbb R)-structure laquelle est à son tour logée dans une GL(n,\mathbb R)_+-structure. Comme nous le verrons, ce phénomène explique en grande partie les relations qu’entretiennent les notions de produits scalaire, mixte et vectoriel, de forme volume et d’orientation.

Nous allons terminer ce billet par une brève étude des GL(n,\mathbb R)_+-structures et des O(n)-structures laissant celle des SL(n,\mathbb R)-structures pour un autre article.

Orientation

Le plus souvent, et même si les termes employés ne sont pas toujours ceux-là, une orientation de E est définie comme étant une GL(n,\mathbb R)_+-structure. Les bases de celles-ci sont traditionnellement dites positives pour l’orientation considérée. Il n’existe que deux orientations possibles de E, autrement dit, GL(n,\mathbb R)_+ n’a que deux orbites. En effet, quelques soient les bases \mathbf b,\mathbf b' de E,

\mathrm{sign\ } \det (\mathbf b^{-1}\circ \mathbf b')=\pm1

On peut passer de l’une à l’autre en agissant avec n’importe quelle matrice dont le déterminant est négatif, et par exemple, la matrice orthogonale

S_0=\mathrm{diag} (-1,1,...,1)

Il est intéressant de noter que GL(n,\mathbb R)_+ est la composante connexe par arcs du neutre de GL(n,\mathbb R), chose qu’il est facile de vérifier par récurrence sur n. Ainsi, deux bases \mathbf b,\mathbf b' définissent la même orientation si, et seulement si, on peut déformer continûment l’une sur l’autre, c’est-à-dire trouver une fonction continue(***) t\in [0,1]\mapsto \mathbf b_t\in \mathcal B(E) telle que \mathbf b_0=\mathbf b et \mathbf b_1=\mathbf b' : si une telle fonction existe, la courbe

t\mapsto \mathbf b_t^{-1}\circ \mathbf b

est tout entière dans GL(n,\mathbb R)_+ puisqu’elle vaut \mathbf 1 en t=0; inversement, si \mathbf b'=\mathbf b.S\det S >0, alors on obtient une déformation continue d’une base sur l’autre sous la forme \mathbf b.S_tt\mapsto S_t est un arc de GL(n,\mathbb R)_+ joignant le neutre à S. C’est en grande partie cette propriété qui justifie la définition de la notion d’orientation. Elle est particulièrement intuitive dans le cas de la dimension deux : une base (au sens classique) définit alors un sens de rotation, celui appliquant son premier élément sur le second en balayant le plus petit angle possible et, clairement, deux bases donnent le même sens de rotation si, et seulement si, elles sont déformables continûment l’une sur l’autre et donc, si et seulement si, la matrice de passage de l’une à l’autre est de déterminant positif. C’est du moins comme cela que je justifie la définition de l’orientation des plans à mes étudiants.

Produit scalaire

Une O(n)-structure n’est autre que la donnée d’un produit scalaire sur E. En effet, O(n) est le groupe des bijections linéaires S de \mathbb R^n qui laissent invariant son produit scalaire canonique

g_n: ((x^1,\ldots,x^n),(y^1,\ldots,y^n))\mapsto x^1y^1+\cdots + x^ny^n

ce qui signifie(****)

S^*g_n=g_n

Dès lors, d’une part, si g est un produit scalaire de E, l’ensemble \mathcal B_g de ses bases orthonormées, c’est-à-dire des bases \mathbf b telles que

\mathbf b^*g=g_n

est une O(n)-structure. D’autre part, si \mathcal B est une O(n)-structure, le produit scalaire g=\mathbf b^{-1*}g_n est indépendant de \mathbf b\in\mathcal B et \mathcal B_g=\mathcal B.

Il est facile à présent d’identifier les SO(n)-structures. Une telle structure définit à la fois un produit scalaire et une orientation : elle consiste en les bases orthonormées du premier qui sont positives pour la seconde. La réciproque est vraie car toute O(n)-structure \mathcal B rencontre les deux orbites de GL(n,\mathbb R)_+. En effet, si \mathbf b\in\mathcal B, alors \mathbf b.S_0 appartient aussi à \mathcal B mais n’est pas dans la même orbite de GL(n,\mathbb R)_+ que \mathbf b.

En voilà assez pour ce billet.😉
––––––––––
(*) A propos de \flat, voir par exemple ici.
(**) Le symbole \mathbf 1 désigne l’élément neutre de GL(n,\mathbb R).
(***) Une fonction f à valeurs dans \mathcal B(E) est dite continue si \mathbf b^{-1}\circ f, qui est à valeurs dans GL(n,\mathbb R), est continu, où \mathbf b est une base, arbitraire, de E.
(****) Si f: E\to F et \alpha :F^p\to \mathbb R alors f^*\alpha:E^p\to \mathbb R est défini par

(f^*\alpha)(x_1,\ldots,x_p)=\alpha(f(x_1),\ldots, f(x_p))

Une propriété importante, utilisée dans l’article, est la suivante : (f\circ g)^*=g^*\circ f^*; sa vérification est immédiate.

3 réflexions sur “Produits mixte et vectoriel I – Bases et G-structures

  1. « omega induit une orientation sur E ».
    Du coup, on se retrouve avec deux orientations sur E. Vu le caractère naturel de tout ça, j’aurais parié naïvement que les deux orientations sont les mêmes !

    • Bonjour PB, et merci de ton intérêt pour cet article.

      Dans le préambule, on se donne un produit scalaire et une orientation, ce qui donne naissance à un produit mixte. On verra que celui-ci, vu comme forme volume, induit l’orientation donnée. On verra également que le produit mixte associé à un produit scalaire et à l’orientation induite par une forme volume donne la même orientation que celle-ci. On verra enfin que toute forme volume est le produit mixte associé à l’orientation qu’elle induit et à un produit scalaire bien choisi. Je m’en vais rédiger tout cela dans le second épisode de la série …😉

  2. Pingback: Une remarque en passant : une équation implicite pour les vecteurs propres d’une matrice de taille deux II | Blog de Pierre Lecomte

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