Produits mixte et vectoriel II – Formes volume, orientations et produits scalaires

Je poursuis ici la discussion entamée dans le billet précédent dont je conserve les notations.

Forme volume

Comme dit précédemment, une forme volume sur E est une application n-linéaire, antisymétrique et non nulle de E^n dans \mathbb R. Il est facile de vérifier que les formes volumes de \mathbb R^n sont les multiples non nuls du déterminant vu comme fonction des colonnes. Etant donné une forme volume \omega de E, il existe donc une fonction \delta_\omega :\mathcal B(E)\to \mathbb R\setminus \{0\} telle que

(1) \mathbf b^*\omega=\delta_\omega(\mathbf b)\det

pour tout \mathbf b\in \mathcal B(E). On a, pour tous u_1,\ldots,u_n\in\mathbb R^n,

\begin{array}{rcl}\delta_\omega(\mathbf b.S)\det(u_1\cdots u_m)&=&((\mathbf b.S)^*\omega)(u_1,...,u_m)\\[1ex]&=&(S^*(\mathbf b^*\omega))(u_1,...,u_m)\\[1ex]&=&(\mathbf b^*\omega)(Su_1,...,Su_m)\\[1ex]&=&\delta_\omega(\mathbf b)\det(Su_1\cdots Su_m)\\[1ex]&=&\delta_\omega(\mathbf b)\det S\det(u_1\cdots u_m)\end{array}

Ainsi,

(2) \forall S\in GL(n,\mathbb R),\quad \forall \mathbf b\in\mathcal B(E),\quad \delta_\omega(\mathbf b.S)=(\det S)\delta_\omega(\mathbf b)

Inversement, si une application \delta :\mathcal B(E)\to \mathbb R\setminus \{0\} vérifie cette propriété, la formule (1) définit une forme volume \omega indépendante de la base \mathbf b et telle que \delta=\delta_\omega. En particulier, deux formes volumes sont toujours proportionnelles.

Venons-en aux SL(n,\mathbb R)-structures. Soient à nouveau une forme volume \omega et l’application \delta_\omega que nous venons de lui associer. L’ensemble

(3) \mathcal B_\omega=\left\{\mathbf b\in \mathcal B(E)|\delta_\omega(\mathbf b)=1\right\}

n’est pas vide. En effet, si \mathbf b_0 est une base quelconque de E, alors le nombre \delta_\omega(\mathbf b_0) n’est pas nul. Il existe donc une matrice S dont le déterminant soit 1/\delta_\omega(\mathbf b_0). On a alors \delta_\omega(\mathbf b_0.S)=1. Vu (2), l’ensemble \mathcal B_\omega est donc une SL(n,\mathbb R)-structure.

Réciproquement, si \mathcal B est une telle structure, il existe une forme volume \omega telle que

\forall \mathbf b\in\mathcal B,\quad \mathbf b^*\omega= \det

et, clairement, \mathcal B_\omega=\mathcal B. Dès lors, la donnée d’une SL(n,\mathbb R)-structure équivaut à celle d’une forme volume ou encore à celle d’une application non nulle vérifiant la relation (2).

A cause de l’inclusion SL(n,\mathbb R)\subset GL(n,\mathbb R)_+, une forme volume \omega de E définit une orientation. Vu la formule (3) de l’article précédent, l’ensemble des bases positives de cette dernière est

(4) \mathcal B_{\omega+}=\{\mathbf b\in\mathcal B(E)|\delta_\omega(\mathbf b)>0\}

En conséquence, deux formes volumes définissent la même orientation si, et seulement si, l’une est un multiple positif de l’autre. Notons aussi que toute orientation est de la forme (4), une base positive \mathbf b donnant une forme volume \omega=\mathbf b^{-1*}\det pour laquelle (4) est l’ensemble de toutes les bases positives.

SO(n)-structure

Vu les inclusions SO(n)\subset SL(n,\mathbb R)\subset GL(n,\mathbb R)_+ et SO(n)\subset O(n), une SO(n)-structure définit à la fois un produit scalaire g, une forme volume \omega et une orientation \mathcal B_+. La structure est alors l’ensemble des bases à la fois orthonormées et positives. Il s’agit donc de \mathcal B_{g+}=\mathcal B_+\cap\mathcal B_g. Comme \mathcal B_{g+}\subset \mathcal B_\omega, on a, vu (3),

\forall \mathbf b\in \mathcal B_{g+},\quad \mathbf b^*\omega=\det

Par conséquent, \omega n’est autre que le produit mixte associé au produit scalaire et à l’orientation définis par la structure. De plus, l’orientation définie par le produit mixte est \mathcal B_+ puisque \mathcal B_\omega\subset \mathcal B_+.

Retour à la question initiale

La question qui a donné naissance à ce billet et au précédent peut se formuler en ces termes. Puisqu’une forme volume définit une orientation, une forme volume \omega et un produit scalaire g, déterminent une SO(n)-structure

\mathcal B_{g+}=\mathcal B_{\omega+}\cap\mathcal B_g

laquelle à son tour génère une forme volume, à savoir le produit mixte dont nous venons de parler et qu’il s’agit de comparer à la forme qui lui a donné indirectement naissance. Nous le noterons \omega_g et nous poserons

\omega=\xi_g\omega_g

Nous savons déjà que le coefficient de proportionnalité \xi_g est positif car le produit mixte et la forme volume \omega définissent la même orientation. De plus, pour tout élément \mathbf b de \mathcal B_{g+},

\delta_\omega(\mathbf b)\det=\mathbf b^*\omega=\xi_g\mathbf b^*\omega_g=\xi_g\det

Ainsi,

\forall \mathbf b\in \mathcal B_{g+}, \quad \xi_g=\delta_\omega(\mathbf b)

Cette formule montre que toute forme volume \omega est le produit mixte associé à son orientation et à un produit scalaire bien choisi. Pour le voir, choisissons \mathbf b\in\mathcal B_\omega. Cette base est positive pour l’orientation induite par \omega et le produit scalaire g pour lequel elle est orthonormée est tel que \xi_g=1. Il répond donc à la question.

Quant au produit vectoriel et à l’application \wedge_\omega (voir le début de l’article précédent pour la définition de cette dernière), ils sont dans la même relation que la forme volume et le produit mixte : \wedge_\omega est un multiple du produit vectoriel et ce multiple vaut \xi_g. C’est immédiat d’après les définitions.

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