Produits mixte et vectoriel III – Produits scalaires et densités

Voici le troisième billet consacré au « triptyque » produit scalaire, forme volume, orientation, objet des deux articles précédents. Comme d’habitude, j’utilise les notations de ceux-ci. Ici, on va adopter un autre point de vue et utiliser un objet intrigant que je trouve particulièrement intéressant, une sorte d’invariant associé aux espaces vectoriels. Pour chaque produit scalaire, cet invariant donne naissance à une densité qui, à son tour, génère les produits mixtes associés au produit scalaire et aux orientations de l’espace.

Action de GL(E) sur les produits scalaires

Le groupe GL(E) des bijections linéaires de E opère sur l’ensemble \mathcal H_+(E) des produits scalaires de E par la formule

(1) (g,S)\in \mathcal H_+(E)\times GL(E)\mapsto S^*g\in \mathcal H_+(E)

Plus généralement, toute bijection linéaire A: E\to F induit une bijection

A^*:g\in \mathcal H_+(F)\mapsto A^*g\in\mathcal H_+(E)

Si B: F\to G est une bijection linéaire, alors (BA)^*=A^*B^*. En particulier, (1) est une action à droite.

Elle est transitive. Ceci repose sur l’existence de bases orthonormées. En effet, soient des produits scalaires g_1 et g_2 et des bases orthonormées \mathbf b_1 et \mathbf b_2 pour g_1 et g_2. On a

\mathbf b_1^*g_1=g_n= \mathbf b_2^*g_2

Par conséquent, g_2=S^*g_1, où

S= \mathbf b_1\circ \mathbf b_2^{-1}

Par contre, l’action (1) n’est pas libre. Les éléments du stabilisateur d’un produit scalaire g forment précisément le groupe O(E,g) des isométries de l’espace euclidien (E,g). Il est isomorphe à O(n). De plus, si S\in O(E,g), alors \det S=\pm 1.

L’invariant \alpha_E

La dernière remarque ci-dessus nous concerne particulièrement. Elle va nous permettre d’introduire une application

\alpha_E:\mathcal H_+(E)\times \mathcal H_+(E)\to \mathbb R

qui nous sera bien utile. On pose

\alpha_E(g_1,g_2)=|\det S|

si g_2=S^*g_1 pour un certain S\in GL(E), ce qui ne dépend pas du choix d’un tel S vu ce qu’on vient d’observer.
Voici quelques propriétés de \alpha_E. C’est en raison de la première que je le qualifie, peut être un peu abusivement, d’invariant.

a) Si A:E\to F est une bijection linéaire alors

\forall g_1,g_2\in \mathcal H_+(F),\quad \alpha_E(A^*g_1,A^*g_2)=\alpha_F(g_1,g_2)

En effet, supposons que A^*g_2=S^*A^*g_1. Alors g_2=(A\circ S\circ A^{-1})^*g_1 et

\alpha_E(A^*g_1,A^*g_2)=|\det S|=|\det(A\circ S\circ A^{-1})|= \alpha_F(g_1,g_2)

Cela étant,

b) Pour tous g_1,g_2\in \mathcal H_+(E) et tout T\in GL(E), on a

\begin{cases}\alpha_E(g_2,g_1)= \alpha_E(g_1,g_2)^{-1}\\\alpha_E(g_1,T^*g_2)=|\det T|\alpha_E(g_1,g_2)\\\alpha_E(T^*g_1,g_2)=|\det T|^{-1}\alpha_E(g_1,g_2)\end{cases}

Les vérifications sont faciles, je ne les détaille pas.

La densité associée à un produit scalaire

Nous allons voir que tout produit scalaire induit naturellement une densité de poids 1 et cela grâce à l’invariant \alpha_E.
Pour rappel, une densité de poids 1 sur E est une application \varphi :\mathcal B(E)\to \mathbb R vérifiant(*)

\forall S\in GL(n,\mathbb R),\forall  \mathbf b\in \mathcal B(E),\quad \varphi(\mathbf b.S)=|\det S|\varphi(\mathbf b)

Soit un produit scalaire g de E. La propriété b) ci-dessus montre que l’application

\delta_g : \mathbf b\in \mathcal B(E)\mapsto \alpha_E(\mathbf b^{-1*}g_n,g)

est une densité de poids 1 de E. Notons qu’à cause de la propriété a), on a aussi, en posant \alpha_n=\alpha_{\mathbb R^n},

\delta_g(\mathbf b)=\alpha_n(g_n,\mathbf b^*g)

Supposons que \delta_g(\mathbf b)=1. Il existe donc S\in GL(n,\mathbb R) tel que |\det S|=1 et \mathbf b^*g=S^*g_n, ce qui revient à dire que \mathbf b_0=\mathbf b.S^{-1} est une base orthonormée de g. En particulier(**) \delta_g vaut 1 sur les bases orthonormées de g et la réciproque est vraie : si \mathbf b_0 est orthonormé et si le déterminant de S vaut \pm 1, alors \delta_g(\mathbf b_0.S)=1.

Fixons alors une base orthonormée \mathbf b_0 de g. Elle engendre une SL(n,\mathbb R)-structure \mathcal B laquelle est associée à une forme volume \omega de E. Vu ce qu’on vient de dire des bases sur lesquelles \delta_g vaut 1, l’application \delta_\omega coïncide avec \delta_g le long de \mathcal B et, dès lors, sur l’orientation définie par \omega.

Je vais achever ce billet par une expression de \delta_b(\mathbf b) qui sera familière à certains d’entre vous ayant étudié un peu de physique mathématique ou de géométrie différentielle.

Notons G_\mathbf b la matrice représentant le produit g dans la base \mathbf b. L’élément g_{ij} à l’intersection de la ligne i et de la colonne j de cette matrice est

g(\mathbf b(\overrightarrow{e_i}),\mathbf b(\overrightarrow{e_j}))

J’affirme alors que

\delta_g(\mathbf b)=\sqrt{\det G_\mathbf b}

Pour vérifier cela, choisissons une base orthonormée \mathbf b_0 et posons S=\mathbf b_0^{-1}\circ \mathbf b.
Il vient(***)

g_{ij}=g(\mathbf b_0(S(\overrightarrow{e_i})),\mathbf b_0(S(\overrightarrow{e_j}))=g_n(S(\overrightarrow{e_i}),S(\overrightarrow{e_j}))=(^tSS)_{ij}

De là,

\delta_g(\mathbf b)=|\det S|=\sqrt{\det (^tSS)}=\sqrt{\det G_\mathbf b}

Voilà ce que je voulais vous raconter à propos des « Produits mixte et vectoriel ». 😉

P.S. Une autre façon de présenter le lien existant entre la densité \delta_g et les deux formes volume \omega_i associées à g (plus communément appelées produits mixtes) est la suivante. En notant \mathcal B_i les deux orientations de E, les fonctions \delta_{\omega_i} définissant les formes sont données par

\delta_{\omega_1|\mathcal B_1}=\delta_{g|\mathcal B_1} \quad \& \quad \delta_{\omega_1|\mathcal B_2}=-\delta_{g|\mathcal B_2}

et

\delta_{\omega_2|\mathcal B_1}=-\delta_{g|\mathcal B_1} \quad \& \quad \delta_{\omega_2|\mathcal B_2}=\delta_{g|\mathcal B_2}

P.L. 12/12/2013

P.S. La première propriété énoncée en b) se généralise comme ceci. Pour tous produits scalaires g_1,g_2,g_3 de E, on a

\alpha_E(g_1,g_2)\alpha_E(g_2,g_3)\alpha_E(g_3,g_1)=1

P.L. 13/12/2013

__________
(*) Pour une densité de poids \lambda, il faut remplacer |\det S| par |\det S|^\lambda. Comme le produit des densités ajoute les poids, il suffit d’avoir une densité de poids 1 pour avoir les autres.
(**) Ceci détermine entièrement la densité car une densité est complètement déterminée par sa valeurs sur une base, valeur qui peut être imposée arbitrairement. Naturellement, nous aurions pu ainsi définir directement \delta_g sans passer par \alpha_E. Je trouve cependant sa filiation avec cet invariant particulièrement intéressante.
(***) Pour la dernière égalité, j’ai confondu S avec la matrice qui le représente dans la base canonique de \mathbb R, dont les colonnes sont les S(\overrightarrow{e_i}); ^tS est la matrice transposée de S.

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