Produits scalaires et densités, une remarque en passant

Ce billet fait suite aux trois précédents dans lesquels j’exposais quelques considérations relatives au produits scalaires, aux produits mixtes (et vectoriels) et aux orientations dont on peut munir un espace vectoriel E de dimension finie.

Vous me permettrez de conserver, comme à l’ordinaire, les notations en usages dans ces articles : \mathcal H_+(E) pour désigner l’ensemble des produits scalaires de E, GL(E) pour le groupe des bijections linéaires de E dans lui-même, etc.

Dans le dernier des trois articles en question, j’ai présenté une application \alpha_E:\mathcal H_+(E)\times\mathcal H_+(E)\to \mathbb R vérifiant les deux propriétés suivantes :

\forall g_1,g_2,g_3\in\mathcal H_+(E),\quad \alpha_E(g_1,g_2)\alpha_E(g_2,g_3)\alpha_E(g_3,g_1)=1

et

\forall A\in GL(E),\quad \forall g_1,g_2\in \mathcal H_+(E), \quad  \alpha_E(A^*g_1,A^*g_2)=\alpha_E(g_1,g_2)

Avec cette application, on construit, pour chaque produit scalaire de E, une densité de poids 1 qui génère les deux produits mixtes associés à ce produit.

Voici ce que nous allons démontrer dans ce billet.

Une application \alpha : \mathcal H_+(E)\times\mathcal H_+(E)\to \mathbb R est telle que

(1) \forall g_1,g_2,g_3\in\mathcal H_+(E),\quad \alpha(g_1,g_2)\alpha(g_2,g_3)\alpha(g_3,g_1)=1

et

(2) \forall A\in GL(E),\quad \forall g_1,g_2\in \mathcal H_+(E), \quad  \alpha(A^*g_1,A^*g_2)=\alpha(g_1,g_2)

si, et seulement si, \alpha=\tau\circ\alpha_E, où \tau est un homomorphisme du groupe multiplicatif des nombres réels positifs dans lui-même.

Si \tau est comme dans l’énoncé, \alpha=\tau\circ\alpha_E vérifie (1) et (2) tout comme \alpha_E et c’est donc la réciproque qui va nous occuper dès à présent.

Supposons donc qu’une application \alpha:\mathcal H_+(E)\times\mathcal H_+(E)\to \mathbb R vérifie (1) et (2). A cause de (1), on a

(3) \alpha(g,g)=1 \quad \& \quad \alpha(g_2,g_1)=\alpha(g_1,g_2)^{-1}

L’égalité de gauche s’obtient en faisant g_1=g_2=g_3=g dans (1), celle de droite en y faisant ensuite g_3=g_1.

Il existe alors une application \beta=\mathcal H_+(E)\to \mathbb R telle que

(4) \forall g_1,g_2\in\mathcal H_+(E), \quad \alpha(g_1,g_2)=\frac{\beta(g_2)}{\beta(g_1)}

Les relations (3) et (1) permettent en effet de vérifier facilement que, étant donné un produit scalaire g_0, l’application

\beta :g\mapsto \alpha(g_0,g)

répond à la question. Remarquons que (4) détermine \beta à un multiple non nul près et que si une application \alpha vérifie (4), elle vérifie automatiquement (1).

Il nous reste donc à exploiter (2). D’après cette condition, pour tout A\in GL(E), l’application g\mapsto \beta(A^*g) vérifie (4). C’est donc un multiple \lambda(A) de \beta. Ainsi,

\forall A\in GL(E), \forall g\in \mathcal H_+(E), \quad \beta(A^*g)=\lambda(A)\beta(g)

Vu la relation (AB)^*=B^*A^*, l’application \lambda est un homomorphisme du groupe GL(E) dans le groupe \mathbb R^* des nombres réels non nuls. Le noyau de \lambda doit de plus inclure les groupes orthogonaux O(E,g) puisque, par définition, O(E,g) stabilise g.

Tout homomorphisme de groupes à valeurs dans un groupe abélien est trivial sur les commutateurs(*) xyx^{-1}y^{-1}. Dans le cas de GL(E), ceux-ci engendrent SL(E)=\{A\in GL(E)|\det A=1\}. Par conséquent \lambda passe au quotient GL(E)/SL(E). Or \det aussi et induit même un isomorphisme entre ce quotient et \mathbb R^*. Il existe donc un homomorphisme \mu de \mathbb R^* dans lui-même tel que \lambda=\mu\circ \det.

Les déterminants des éléments des groupes orthogonaux valent \pm 1. Par conséquent, \mu(-1)=1 et, du coup, \mu(x)=\mu(|x|) pour tout réel non nul x. Observons que si x>0, alors

\mu(x)=\mu((\sqrt x)^2)=(\mu(\sqrt x))^2 >0

Au total, \mu=\tau \circ \mbox{abs}\tau est un homomorphisme du groupe des réels positifs dans lui-même.

Soient alors des produits scalaires g_1,g_2 et S tel que g_2=S^*g_1. Il vient

\alpha(g_1,g_2)=\frac{\beta(S^*g_1)}{\beta(g_1)}=\lambda(S)=\tau(|\det S|)=\tau(\alpha_E(g_1,g_2))

et la propriété est établie.

Les homomorphismes de \mathbb R^* dans lui-même sont difficiles à décrire, exceptés ceux qui sont continus pour la topologie usuelle de l’ensemble des nombres réels. Ces derniers sont exactement les applications x\mapsto x^ss est un nombre réel quelconque.

Les solutions des équations (1) et (2) correspondant aux homomorphismes continus sont donc les puissances de \alpha_E. Tout comme \alpha_E associe à chaque produit scalaire g une densité de poids 1, chacune associe à g une densité dont le poids est la puissance à laquelle il faut élever \alpha_E pour l’obtenir.

__________
(*) Les commutateurs d’un groupe engendrent son sous-groupe dérivé. Voir aussi ici pour la détermination du dérivé du groupe linéaire général.

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2 réactions sur “Produits scalaires et densités, une remarque en passant

    • Je m’en doute! 🙂 Mais je trouve tous ces faits bien étranges. Je dois encore réfléchir pour, peut-être, percevoir à quoi tout cela se rattache. Cela fait pourtant longtemps que je m’interroge sur la notion de produit scalaire mais je n’ai pas encore imaginé le contexte explicatif, dans lequel tout un ensemble de phénomènes s’inscrirait de façon limpide et naturelle.

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