Produits scalaires et densités, une remarque en passant II

Je vais donner ici une interprétation géométrique de la fonction \alpha_E : \mathcal H_+(E)\times\mathcal H_+(E)\to \mathbb R dont j’ai parlé ici et ici (billets dont j’adopte les notations …).

Ce billet est aussi l’occasion d’illustrer le fait que la notion de densité est liée à celle de mesure(**), chose sur laquelle je reviendrai peut-être plus en détail dans un article ultérieur(*).

Mesure d’une partie de E

Soit un produit scalaire g de E et la densité \delta_g qui lui est associée. Pour rappel, pour toute base \mathbf b de E,

\delta_g(\mathbf b)=\alpha_E(\mathbf b^{-1*}g_n,g)=\alpha_n(g_n,\mathbf b^*g)

Soient alors une partie e et une base \mathbf b de E. Si l’ensemble \mathbf b^{-1}e\subset \mathbb R^n est intégrable, on pose(**)

\mbox{mes}_g(e)=\delta_g(\mathbf b)\int_{\mathbb R^n}\xi_{\mathbf b^{-1}e}(x)dx

Pour être cohérents, nous devons vérifier que le membre de droite (et le fait que \mathbf b^{-1}e soit intégrable) ne dépend pas de la base \mathbf b. Soit donc \mathbf b'=\mathbf b.S, où S\in GL(n,\mathbb R). On a

\begin{cases}\delta_g(\mathbf b')=|\det S|\delta_g(\mathbf b)\\[1ex]\forall x\in \mathbb R^n,\quad \xi_{\mathbf b'^{-1}e}(x)=\xi_{\mathbf b^{-1}e}(Sx)\end{cases}

Dès lors

\delta_g(\mathbf b')\int_{\mathbb R^n}\xi_{\mathbf b'^{-1}e}(x)dx=|\det S|\delta_g(\mathbf b)\int_{\mathbb R^n}\xi_{\mathbf b^{-1}e}(Sx)dx=\delta_g(\mathbf b)\int_{\mathbb R^n}\xi_{\mathbf b^{-1}e}(x)dx

en vertu du théorème de changement de variables dans les intégrales.

Nous appellerons le nombre \mbox{mes}_g(e) la g-mesure de e.

Les valeurs de la densité \delta_g sont les g-mesures des parallélotopes de E. En effet, ceux-ci sont les images du cube [0,1]^n de \mathbb R^n par les bases de E et, si \mathbf b est l’une d’elles,

\mbox{mes}_g(\mathbf b[0,1]^n)=\delta_g(\mathbf b)\int_{[0,1]^n}dx=\delta_g(\mathbf b)

Interprétation de \alpha_E

Il découle de la vérification de la propriété principale énoncée dans le second billet mentionné au tout début de cet article que, pour tous produits scalaires g_0,g_1,g_2,

\alpha_E(g_1,g_2)=\frac{\alpha_E(g_0,g_2)}{\alpha_E(g_0,g_1)}

Une base \mathbf b étant donnée, choisissons de prendre g_0=\mathbf b^{-1*}g_n, de sorte que(***), pour tout produit scalaire g,

\alpha_E(g_0,g)=\alpha_n(g_n,\mathbf b^*g)=\delta_g(\mathbf b)

Ainsi,

\forall \mathbf b\in \mathcal B(E),\quad \alpha_E(g_1,g_2)=\frac{\mbox{mes}_{g_2}(\mathbf b[0,1]^n)}{\mbox{mes}_{g_1}(\mathbf b[0,1]^n)}

comme l’avait remarquablement pressenti un collègue de mon département de mathématique, que je remercie d’avoir attiré mon attention sur ce point, et qui se reconnaitra certainement.

P.S. Pour rappel, \delta_g(\mathbf b) est la racine carrée du déterminant de la matrice G_{\mathbf b} représentant g dans la base \mathbf b, de sorte que

\mbox{mes}_g(e)=\int_{\mathbf b^{-1}e}\sqrt{\det G_{\mathbf b}}\ dx

formule qui est sans doute familière à certains d’entre vous. P.L. 19/12/2013

😉

__________
(*) Il va s’agir essentiellement de transporter la mesure bien connue de Lebesgue de \mathbb R^n. Je ne serai pas trop formel et n’adopterai pas systématiquement le langage de la théorie de la mesure.
(**) La notation \xi_a désigne la fonction caractéristique de l’ensemble a. Par ailleurs, comme \delta_g(\mathbf b) est constant, il figure hors de l’intégrale. Il devrait naturellement figurer sous le signe d’intégration car, dans des situations plus générales que celle du présent billet, comme celle des variétés différentielles, l’équivalent de \delta_g(\mathbf b) n’est pas constant et figure donc dans l’intégrand dont il ne peut alors être sorti.
(***) Dans tous les articles de la série, j’ai commis une erreur de notation : g_n désigne le produit scalaire standard de \mathbb R^n mais g_0 pas, c’est simplement un produit scalaire  »donné » de E. Veuillez m’en excuser.

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