Il y a trois fois plus de triangles amblygones que d’acutangles I

L’adjectif amblygone est synonyme d’obtusangle, mais il est désuet (il ne fait d’ailleurs pas partie du dictionnaire du correcteur orthographique de ce blog). J’en ai trouvé mention dans l’édition de 1928 du Larousse du XXe siècle et cet article vous apprendra, à moins que vous ne le sachiez déjà, qu’il était utilisé jusqu’au Moyen Âge et à la Renaissance; il vous éclairera sur son étymologie.

Je l’aime bien alors que j’ai toujours une petite réserve lorsque j’utilise ou lis obtusangle. C’est ridicule de ma part mais je vous explique quand même pourquoi : acutangle signifie dont tous les angles sont aigus et j’ai donc l’impression qu’obtusangle devrait signifier dont tous les angles sont obtus.

Il va être question des formes de triangle et nous allons cheminer vers un joli théorème qui m’a beaucoup surpris lorsque je l’ai découvert(*) d’autant que je ne le cherchais pas mais tentais plutôt de répondre à une question dont le seul intérêt, a posteriori, est de m’y avoir conduit.

Nous dirons de deux triangles qu’ils ont même forme si, et seulement si, ils sont semblables. Une forme de triangle est donc caractérisée par trois nombres, à savoir les mesures des angles qui sont communs à tous les triangles qui la partagent. L’ensemble des formes de triangle est alors représenté par une partie de \mathbb R^3, à savoir

\Delta:=\left\{(\alpha,\beta,\gamma)\in\mathbb R^3|0<\alpha\leqslant\beta\leqslant\gamma\quad \& \quad\alpha+\beta+\gamma=\pi\right\}

Elle est représentée en gris foncé sur la figure suivante.

TTRI2

C’est le triangle RST privé du côté [R,T] (sur lequel \alpha=0). Dans la figure, le triangle équilatéral gris clair PQR est l’ensemble des points du plan d’équation \alpha+\beta+\gamma=\pi dont les coordonnées sont positives.

Le triangle \Delta est remarquable(**). Ses angles sont parmi les plus célèbres au monde et sont en progression arithmétique; d’autres propriétés intéressantes de ce triangle apparaitront dans la suite. En voici une vue sur laquelle on peut repérer facilement des formes classiques de triangle.

TTRI4

— Le point S est la forme des triangles équilatéraux.
— Le long de [S,T[ se trouvent les formes des triangles isocèles dont les angles égaux sont les plus grands; T correspond à des triangles plats qui auraient un angle nul et deux angles droits.
— Le long de [S,R[ se trouvent les formes des triangles isocèles dont les angles égaux sont les plus petits; R correspond à des triangles plats qui auraient un angle plat et deux nuls.
— La hauteur ]T,U] issue de T est le lieu des formes des triangles rectangles; U est la forme des triangles rectangles isocèles; la forme du triangle \Delta est située sur cette hauteur au deux tiers de celle-ci comptés à partir de T.

Cette hauteur sépare \Delta en deux régions. L’une, celle du côté de S, est le lieu STU des formes des triangles acutangles, l’autre, du côté de R, est le lieu RTU des formes des triangles obtusangles.

Ainsi que je vous l’expliquerai dans le billet suivant, ce n’est pas par hasard qu’il semble y avoir bien davantage de formes de triangles obtusangles que de formes d’acutangles.

😉
__________
(*) Si je ne suis pas le seul à utiliser la modélisation de la notion de forme de triangle adoptée ici, je n’ai trouvé trace nulle part de ce théorème. Je crois donc qu’il est original mais je peux me tromper et un lecteur plus cultivé que moi sur la question me reprendra peut-être sur ce point.
(**) Je l’appelle le triangle des triangles dans mon petit livre, Le Mathématicien et ses Esclaves, dont j’extrais le matériel de ce billet et du suivant et où vous pourriez trouver les démonstrations que je ne donne pas ici.

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