Il y a trois fois plus de triangles amblygones que d’acutangles II

Nous poursuivons ici le billet précédent.

Il y a un moyen très simple de transformer un triangle amblygone (😉 ) en un triangle acutangle. Il suffit de remplacer le sommet de l’angle obtus par l’orthocentre.

TTRI3

Dans la figure ci-dessus, le triangle ABC, pour lequel(*) \gamma>\pi/2, est ainsi transformé en le triangle ABH. Il est acutangle. En effet, ses angles en A et B sont respectivement(**)

\alpha'=\frac \pi 2-\beta\quad \mbox{et} \quad \beta'=\frac \pi 2-\alpha

De plus, le quadrilatère DHEC étant isncriptible, ses angles en H et en C sont supplémentaires. Ainsi, l’angle en H du triangle ABH est

\gamma'=\pi-\gamma <\frac \pi 2

Tout triangle acutangle s’obtient généralement(***) de la sorte à partir de trois triangles obtusangles, à savoir ceux ayant pour sommets deux sommets du triangle et son orthocentre, comme illustré par la figure suivante.

TTRI6_old

Ceci constitue un premier argument en faveur de l’affirmation formulée dans le titre de ce billet. Nous allons bientôt en découvrir un autre, plus frappant.

Revenons à la transformation du début du billet. On a \alpha'\leqslant \beta'. La forme du triangle ABH est donc l’un des triples

(\gamma',\alpha',\beta'),\quad (\alpha',\gamma',\beta'),\quad (\alpha',\beta',\gamma')

En particulier, elle ne dépend que de la forme de ABC.

Pour aller plus loin dans l’étude de cette transformation, introduisons d’abord le découpage de \Delta en quatre régions décrit à la figure ci-dessous.

TTRI5

On constate que \Delta est partagé en quatre copies d’un triangle de même forme que lui. L’une est l’ensemble des formes des triangles acutangles et les trois autres, numérotées en chiffres romains, recouvrent l’ensemble de celles des triangles obtusangles.

On peut alors établir la propriété suivante.

Lorsqu’on remplace le sommet de l’angle obtus d’un triangle obtusangle de forme (\alpha,\beta,\gamma) par son orthocentre, on obtient un triangle de forme (\alpha',\beta',\gamma'), (\alpha',\gamma',\beta') ou (\gamma',\alpha',\beta') selon que (\alpha,\beta,\gamma) appartient à la région \mathrm I, \mathrm{II} ou \mathrm{III} de \Delta respectivement.

Mais le plus joli et le plus inattendu dans cette affaire, c’est la description de l’application TUR\to TUS qui associe la forme du triangle acutangle ABH à celle du triangle obtusangle ABC. Voici ce qu’on peut démontrer.

Lorsqu’on remplace le sommet de l’angle obtus d’un triangle obtusangle par son orthocentre, on obtient un triangle dont la forme X' se déduit de la forme X du triangle modifié en lui appliquant successivement les symétries orthogonales d’axes VW, VT et UT si X se trouve dans la région \mathrm{III}, VT et UT s’il est dans la région \mathrm{II} et UT dans la région \mathrm I.

Voici le dessin d’un exemple.

TTRI7

😉
___________
(*) Je note \alpha,\beta,\gamma les angles en A, B, C dans cet ordre; à ce stade, on les suppose rangés par ordre non décroissant.
(**) On voit cela en considérant, par exemple, les triangles rectangles ABD et ABE.
(***) Pour les triangles isocèles, il n’y en a que deux sauf pour les triangles équilatéraux pour lesquels il n’y en a qu’un seul.

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