Les opérateurs différentiels sans les dérivées – Une mise au point I

Je viens de m’apercevoir que je me suis lourdement trompé dans ce billet. En le rédigeant, j’avais en tête le modèle de l’algèbre des opérateurs différentiels agissant sur les fonctions lisses d’une variété différentielle. Cette algèbre a bien les propriétés énoncées dans le billet mais, entraîné par la plume, je les y ai imprudemment formulées pour les algèbres d’opérateurs différentiels agissant sur les sections d’un fibré vectoriel, ce qui de la manière dont les choses sont présentées dans le billet, est une erreur.

Le plus insidieux dans l’affaire : ces algèbres possèdent malgré tout les propriétés en question mais cela ne se voit qu’à condition de les présenter sous une forme inhabituelle! C’est ce dont nous nous sommes rendu compte il y a peu Elie Zihindula Mushengezi et moi-même lors de travaux relatifs à sa thèse de doctorat. Ce fut pour nous une réelle, et agréable, surprise. Elle est à l’origine de quelques uns des plus beaux résultats de cette thèse parmi lesquels outre la découverte d’une nouvelle algèbre de Poisson associée aux fibrés vectoriels, certaines propriétés de cette dernière.

Comme le suggère le titre de ce billet, je vais à présent vous présenter les choses comme elles auraient sans doute dû l’être d’emblée.

Soient une algèbre associative commutative \mathfrak a et un de ses modules \mathfrak m. Dans le billet mentionné plus haut, je donnais deux variantes de la notion d’opérateurs différentiels agissant sur \mathfrak m, la première dans le corps de l’article, la seconde en post-scriptum. En fait, l’une et l’autre donnent la même sous-algèbre de \mathcal L(\mathfrak m, \mathfrak m) dont elles fournissent deux filtrations différentes. C’est la filtration résultant de la seconde construction qui généralise le plus directement celle des opérateurs différentiels par l’ordre de différentiation. Les propriétés de l’autre filtration sont remarquables. Elles font de l’algèbre obtenue ce qu’on appelle une algèbre de Poisson quantique au sens de Janusz Grabowski et Norbert Poncin(*) avec comme corollaire qu’elle donne naissance à une autre algèbre de Poisson, à savoir sa limite semi-classique qui, dans le cas des fibrés vectoriels, a été étudiée pour la première fois par Elie Zihindula Mushengezi.

Une construction générale

Les deux constructions procèdent de la même démarche. On construit une sous-algèbre associative filtrée

\mathcal F=\bigcup_{k=0}^{+\infty}\mathcal F^k, \quad \mathcal F^0 \subset \cdots \subset \mathcal F^k \subset \mathcal F^{k+1} \subset \cdots

de \mathcal L(\mathfrak m, \mathfrak m) en choisissant une sous-algèbre \mathcal F^0, puis en définissant les autres filtres « à la Grothendieck », c’est-à-dire par induction sur k, en posant

\mathcal F^{k+1}=\left\{T\in\mathcal L(\mathfrak m, \mathfrak m)|\forall a\in\mathfrak a, [T,\varrho(a)]\in \mathcal F^k\right\}

pour tout entier k\geqslant 0\varrho(a) désigne l’action de a sur \mathfrak m.

Pour faciliter l’exposé, il est commode de prolonger la filtration aux indices négatifs, en déclarant que pour ces indices, les filtres sont nuls(**).

Il y a quelques points à vérifier. Il faut voir que les \mathcal F^k forment une filtration croissante. C’est quasi immédiat et je n’en détaillerai pas la preuve. Il faut aussi montrer que \mathcal F est une sous-algèbre associative de \mathcal L(\mathfrak m, \mathfrak m). Cela résulte de ce que, pour tous i,j\in \mathbb N,

(1) \mathcal F^i\mathcal F^j \subset \mathcal F^{i+j}

ce que nous allons établir par récurrence sur k=i+j. Lorsque k est nul, les indices i,j sont nuls et (1) est vérifié car \mathcal F^0 est une sous-algèbre associative, par hypothèse. Supposons (1) vrai lorsque k<n et considérons des indices i,j tels que i+j=n. Soient S\in \mathcal F^i, T\in\mathcal F^j et a\in\mathfrak a. On a

[ST,\varrho(a)]=[S,\varrho(a)]T+S[T,\varrho(a)]\in \mathcal F^{i-1}\mathcal F^j+\mathcal F^i\mathcal F^{j-1}\subset \mathcal F^{i+j-1}

vu l’hypothèse de récurrence. Dès lors ST\in \mathcal F^{i+j} et la propriété est établie.

L’algèbre associative \mathcal L(\mathfrak m, \mathfrak m) est aussi une algèbre de Lie, dont le crochet de Lie est le commutateur : [S,T]=ST-TS. En conséquence de (1), nous avons, pour tous i,j\in \mathbb N,

(2) [\mathcal F^i,\mathcal F^j] \subset \mathcal F^{i+j}

Notons que

si \mathcal F^0 est commutatif, alors (2) est remplacé par

(2′) [\mathcal F^i,\mathcal F^j] \subset \mathcal F^{i+j-1}

Cette propriété est importante pour la suite. Elle se démontre comme (1), par récurrence sur la somme i+j. Je ne détaille pas.

Pour la filtration d'opérateurs différentiels, nous remplacerons la lettre \mathcal F par \mathcal D et pour la filtration d'algèbre de Poisson quantique, par \mathcal P, en précisant éventuellement \mathfrak m en indice.

Je vous donne rendez-vous au prochain billet pour vous les présenter.

__________
(*) J. Grabowski, N. Poncin, Automorphisms of quantum and classical Poisson algebras, Comp. Math., 140 (2004), 511-527
(**) Il faut prendre garde au fait qu’alors, la définition de \mathcal F^{k+1} ne s’applique pas nécessairement lorsque k=-1.

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3 réflexions sur “Les opérateurs différentiels sans les dérivées – Une mise au point I

    • Salut Vincent et merci pour ton opinion sur le thème!
      Je suppose que tu pensais commenter le billet précédent, preuve que tu as peut-être raison à propos des séparations …
      (Je ne sais pas déplacer le commentaire tel quel ; je ne peux que le copier à l’endroit voulu en postant moi-même un commentaire de même contenu puis effacer l’original. Sauf si tu le souhaites, je ne ferai rien) 🙂

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