Les opérateurs différentiels sans les dérivées – Une mise au point II

Les notations sont celles du billet précédent.

Nous allons définir ici l’algèbre des opérateurs différentiels et l’algèbre de Poisson quantique associées au \mathfrak a-module \mathfrak m. On utilise dans les deux cas la construction générale décrite dans le billet précédent, en réservant la notation \mathcal D pour la première et \mathcal P pour la seconde.

Les opérateurs différentiels sur \mathfrak m

Un opérateur différentiel agissant sur les sections d’un fibré vectoriel est d’ordre zéro si, et seulement si, il commute avec les multiplications par les fonctions lisses de la base du fibré. Plus généralement, si T est un opérateur d’ordre k et \gamma_f est la multiplication par une fonction f, alors le commutateur [T,\gamma_f] est d’ordre k-1.

Pour définir les opérateurs différentiels sur \mathfrak m, qui joue le rôle de l’espace des sections d’un fibré vectoriel, celui des fonctions étant dévolu à \mathfrak a, on est ainsi naturellement conduit à appliquer la construction décrite plus haut en prenant

\mathcal D^0=\left\{T\in\mathcal L(\mathfrak m, \mathfrak m)|\forall a\in\mathfrak a, [T,\varrho(a)]=0\right\}

C’est évidemment un sous-espace vectoriel de \mathcal L(\mathfrak m,\mathfrak m). Il est de plus stable par multiplication puisque pour tous S,T \in \mathcal L(\mathfrak m,\mathfrak m) et tout a\in \mathfrak a,

[ST,\varrho(a)]=[S,\varrho(a)]T+S[T,\varrho(a)]

Le plus souvent, \mathcal D^0 n’est pas abélien de sorte que si l’on a toujours [\mathcal D^i,\mathcal D^j]\subset \mathcal D^{i+j}, on n’a généralement pas [\mathcal D^i,\mathcal D^j]\subset \mathcal D^{i+j-1}.

Lorsque \mathfrak m est l’espace des sections d’un fibré vectoriel et \mathfrak a est l’algèbre des fonctions lisses de la base du fibré, l’algèbre \mathcal D_\mathfrak m ainsi construite est effectivement celle des opérateurs différentiels agissant sur les sections du fibré, l’espace \mathcal D^k_m étant l’ensemble des opérateurs d’ordre au plus k. L’algèbre \mathcal D^0_\mathfrak m est alors celle des champs d’endomorphismes du fibré, c’est-à-dire des fonctions différentiables qui associent à chaque point de sa base un endomorphisme de la fibre en ce point. Elle n’est pas commutative sauf si le fibré est un fibré en droites.

L’algèbre de Poisson quantique de \mathfrak m

Pour cette algèbre, nous prendrons \mathcal P^0=\{\varrho(a)|a\in\mathfrak a\}. C’est bien entendu une algèbre associative et commutative. En particulier, \mathcal P vérifie

\forall i,j\in \mathbb N, \quad \mathcal P^i\mathcal P^j\subset \mathcal P^{i+j} \quad \& \quad [\mathcal P^i,\mathcal P^j]\subset \mathcal P^{i+j-1}

On voit ainsi que \mathcal P^1 est une sous-algèbre de Lie de \mathcal P dont \mathcal P^0 est un idéal. Dans le cas des sections d’un fibré vectoriel, \mathcal P^1 n’est autre que l’algèbre de Lie des automorphismes infinitésimaux du fibré. C’est donc un objet important attaché à celui-ci.

Comparaison

La clé est la proposition suivante :

\forall k \in \mathbb N, \quad\mathcal P^k \subset \mathcal D^k \subset \mathcal P^{k+1}

Etablissons par exemple l’inclusion de gauche. On procède par récurrence sur k. Comme \mathcal P^0 est commutatif, il est inclus à \mathcal D^0. Supposons alors que \mathcal P^{k-1}\subset \mathcal D^{k-1}. Pour tout T\in\mathcal P^k et tout a\in \mathfrak a, nous avons [T,\varrho(a)]\in\mathcal P^{k-1}\subset \mathcal D^{k-1} de sorte que T\in\mathcal D^k par définition de \mathcal D.

Une preuve analogue fonctionne pour l’inclusion de droite.

Pour simple qu’elle soit à prouver, cette double inclusion est importante. Il en résulte en effet que les algèbres \mathcal D_\mathfrak m et \mathcal P_\mathfrak m coïncident!

Je vous parlerai davantage de \mathcal P dans un billet ultérieur. En particulier, je vous dirai pourquoi c’est une algèbre de Poisson quantique.

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