En guise d’exercice : une tranche de cube

Le petit problème qui suit m’a été inspiré par une question posée dans le Calendrier mathématique de 2014. Il ne s’agit bien entendu pas de la question originale mais la solution du problème posé ici pourrait conduire à celle de la question du calendrier. Aussi, je ne vous dirai pas à quelle date celle-ci se trouve.

L’image suivante représente un cube et les points P,Q,R sont les milieux des côtés auxquels ils appartiennent.

cube

Problème : déterminer la nature de la section du cube par le plan contenant les points P,Q,R.

Bon amusement!

😉

P.S. Sur le dessin, le côté auquel le point Q appartient est ambigu. Pour lever l’indétermination, je précise que les points P,Q,R appartiennent à trois côtés consécutifs. P.L. 05/02/2014

Publicités

6 réflexions sur “En guise d’exercice : une tranche de cube

  1. Bonjour,
    J’arrive facilement à trouver trois autres points de la section, ce qui me fait penser que cette section est un hexagone convexe avec 6 côtés de même longueur. Bref, je ne suis pas loin de pouvoir affirmer que c’est un hexagone régulier…

  2. J’ai un argument simple : O:=R+QP est le centre du cube, et il est dans notre section. Il est immédiat d’en déduire que notre section, en plus d’être un hexagone convexe qui a ses côtés de même longueur, est inscrite dans un cercle. C’est donc un hexagone régulier 🙂

    • Pardonne moi, mais je ne vois pas très bien ce que tu déduis et comment.
      Naturellement, je suis pollué par mon approche dans laquelle je donne les 6 sommets et je prouve qu’ils sont coplanaires, à partir de quoi il est effectivement immédiat que l’hexagone est régulier que ce soit avec ton observation ou une autre.

      • Je crois que je commence à comprendre. Voyons, vu l’expression du centre, celui-ci est dans le plan PQR. Les symétriques de P,Q,R par rapport à O aussi. La section est donc bien un hexagone, inscriptible dans un cercle dont le rayon est la valeur commune des longueurs des côtés. J’achète, c’est joli! Bravo!

        Et plus direct que mon argument : je prenais d’emblée les six points ci-dessus mais je montrais leur coplanarité en jouant sur le parallélisme. Une fois qu’on sait qu’ils sont coplanaires, les symétries du cube montrent que les six angles aux sommets de l’hexagone sont égaux, donc qu’il est régulier.

        L’astuce du centre montre élégamment la coplanarité!

Laisser un commentaire

Entrez vos coordonnées ci-dessous ou cliquez sur une icône pour vous connecter:

Logo WordPress.com

Vous commentez à l'aide de votre compte WordPress.com. Déconnexion / Changer )

Image Twitter

Vous commentez à l'aide de votre compte Twitter. Déconnexion / Changer )

Photo Facebook

Vous commentez à l'aide de votre compte Facebook. Déconnexion / Changer )

Photo Google+

Vous commentez à l'aide de votre compte Google+. Déconnexion / Changer )

Connexion à %s