Algèbres de Poisson quantiques et classiques I

Chose promise, chose due! Je vais vous parler des algèbres de Poisson quantiques et classiques.

C’est pour répondre à une question que je leur avais posée(*) que Janusz Grabowski et Norbert Poncin ont introduit ces deux sortes d’algèbres (pour une référence, voir une note en bas de page de ce billet). J’expliquerai plus loin de quelle manière ils lui ont apporté une réponse positive.

Il y aurait beaucoup à raconter sur les algèbres de Poisson, dont les algèbres de Poisson quantiques et classiques sont des exemples, mais cela me prendrait trop de temps. Je me contenterai donc de rappeler la définition de la notion, de donner brièvement deux exemples avant de l’illustrer davantage avec les algèbres quantiques et classiques et ferai le pont avec les constructions présentées dans le billet mentionné ci-dessus.

Algèbres de Poisson

Une algèbre de Poisson est un espace vectoriel muni d’une structure d’algèbre associative avec unité et d’une structure d’algèbre de Lie qui agit par dérivations de la structure associative. En formules, pour une algèbre de Poisson \mathcal L de multiplication associative (x,y)\mapsto xy et de crochet de Lie (x,y)\mapsto \{x,y\}, cette dernière hypothèse signifie :

\forall x,y,z\in \mathcal L,\quad \{x,yz\}=\{x,y\}z+y\{x,z\}

Le prototype d’algèbre de Poisson est l’algèbre des fonctions différentiables à valeurs réelles d’une variété symplectique(**). La multiplication associative est le produit usuel de fonctions et le crochet de Lie est le crochet de Poisson. Dans tout système de coordonnées (p^1,\ldots,p^m,q^1,\ldots,q^m) de Darboux, celui-ci s’écrit

\{f,g\}=\sum_{i=1}^m\left(\frac{\partial f}{\partial p^i}\frac{\partial g}{\partial q^i}-\frac{\partial g}{\partial p^i}\frac{\partial f}{\partial q^i}\right)

Il est bien connu de tout qui a étudié le formalisme hamiltonien de la mécanique classique.

Un autre exemple, très élémentaire, du moins au premier abord, est l’espace \mathcal L(E,E) des endomorphismes d’un espace vectoriel E. La multiplication associative est la composition d’endomorphismes et le crochet de Lie est le commutateur(***)

(A,B)\mapsto [A,B]=AB-BA

Algèbres de Poisson quantiques

Une algèbre de Poisson quantique \mathcal F est une algèbre associative admettant une filtration croissante

\mathcal F=\bigcup_{i\in\mathbb N}\mathcal F^i

telle que

\forall i,j\in \mathbb N,\quad \mathcal F^i\mathcal F^j\subset \mathcal F^{i+j}\quad \& \quad [\mathcal F^i,\mathcal F^j]\subset \mathcal F^{i+j-1}

[,] est le commutateur. Pour que la dernière hypothèse ait un sens, on prolonge la filtration aux indices négatifs, en précisant que les filtres d’indices négatifs sont réduits à \{0\}.

Avec ces hypothèses, on voit tout d’abord que \mathcal F^0 est une sous-algèbre associative et commutative de \mathcal F (faire i=j=0). C’est la base de l’algèbre de Poisson quantique \mathcal F. On voit ensuite que \mathcal F^1 est une sous-algèbre de Lie de \mathcal F (faire i=j=1). Elle admet \mathcal F^0 comme idéal et agit sur lui par dérivations du produit associatif (… i=0, j=1).

Dans ce billet, j’ai présenté un procédé très général de construction d’algèbres de Poisson quantiques. Ce sont les algèbres notées \mathcal P dans le billet. Elles sont obtenues à partir d’une algèbre associative et commutative avec unité \mathfrak a et d’un \mathfrak a-module \mathfrak m. La base de \mathcal P est \varrho(\mathfrak a), où \varrho est l’action de \mathfrak a sur le module. Lorsque \varrho est fidèle, on l’identifie à \mathfrak a.

Considérons une variété différentielle M. L’ensemble C^\infty(M,\mathbb R) des fonctions de classe C^\infty de M dans \mathbb R est une algèbre associative et commutative pour les opérations usuelles(****) sur les fonctions. Son unité est la fonction constante x\mapsto 1. L’algèbre de Poisson quantique que l’on obtient en appliquant la construction générale avec \mathfrak a=\mathfrak m=C^\infty(M,\mathbb R) (où \mathfrak a agit sur lui-même par multiplication), n’est autre que l’algèbre \mathcal D_M des opérateurs différentiels agissant sur les fonctions de M, filtrée par l’ordre de différentiation. Le filtre \mathcal D_M^i est l’ensemble des opérateurs différentiels d’ordre \leqslant i(*****). La base de \mathcal D_M est C^\infty(M,\mathbb R) tandis que l’algèbre de Lie \mathcal D_M^1 est le produit semi-direct \mathrm{Vect}(M)\rtimes_L C^\infty(M,\mathbb R) de l’algèbre de Lie des champs de vecteurs de M agissant par dérivées de Lie sur les fonctions, c’est-à-dire le produit cartésien \mathrm{Vect}(M)\times C^\infty(M,\mathbb R) muni du crochet de Lie

[(X,f),(Y,g)]=([X,Y],L_Xg-L_Yf)

Une caractérisation algébrique des variétés différentielles

Janusz Grabowski et Norbert Poncin montrent que, sous certaines hypothèses, un isomorphisme d’algèbres de Lie entre algèbres de Poisson quantiques est filtré et induit un isomorphisme d’algèbres associatives entre leur bases. Je reparlerai ultérieurement de ces hypothèses, une fois que nous aurons appris ce que sont les algèbres de Poisson classiques. Il se fait que ces hypothèses sont satisfaites par les algèbres d’opérateurs différentiels agissant sur les fonctions d’une variété. Par conséquent, M,N étant des variétés, si les algèbres \mathcal D_M et \mathcal D_N sont isomorphes, alors les algèbres associatives C^\infty(M,\mathbb R) et C^\infty(N,\mathbb R) sont isomorphes. Or les isomorphismes de C^\infty(M,\mathbb R) dans C^\infty(N,\mathbb R) sont connus. Ce sont les applications de la forme

f\in C^\infty(M,\mathbb R) \mapsto f\circ\varphi^{-1}\in C^\infty(N,\mathbb R)

\varphi : M \to N est un difféomorphisme. C’est ainsi que Janusz Grabowski et Norbert Poncin montrent que l’algèbre de Lie des opérateurs différentiels agissant sur les fonctions d’une variété caractérise celle-ci à difféomorphisme près.

Je connais la caractérisation des isomorphismes d’algèbres associatives entre C^\infty(M,\mathbb R) et C^\infty(N,\mathbb R) sous le nom d’exercice de Milnor. Je l’enseigne à mes étudiants à l’Université de Liège et ils l’aiment bien. Il faut dire que l’idée est amusante : on identifie les points d’une variété M aux idéaux de codimension 1 de C^\infty(M,\mathbb R) par l’application x \mapsto \ker ev_x. Un isomorphisme d’algèbres transforme les idéaux de codimension 1 de l’une en ceux de l’autre. Il induit donc, dans le cas des algèbres de fonctions sur des variétés, une application entre les variétés qui n’est autre que le difféomorphisme cherché. Cette idée est assez classique, en géométrie algébrique entre autre, mais c’est la première fois que mes étudiants la rencontrent, et ils l’apprécient.

A suivre …

😉

P.S. Dans l’esprit de ce billet, c’est plutôt la filtration « \mathcal D » qu’on aurait dû utiliser pour définir l’algèbre \mathcal D_M des opérateurs différentiels agissant sur C^\infty(M,\mathbb R). Mais, dans notre cas, les filtrations \mathcal D et \mathcal P coïncident car alors, \mathcal D^0=\mathcal P^0. P.L. 11/02/2014
__________
(*) Deux variétés différentielles dont les algèbres d’opérateurs différentiels agissant sur les fonctions sont isomorphes sont-elles difféomorphes?
(**) …et plus généralement, d’une variété de Poisson.
(***) Plus généralement, toute algèbre associative avec unité est une algèbre de Poisson quand on la munit du commutateur en guise de crochet de Lie.
(****) Celles faisant de chaque évaluation

ev_x: f\in C^\infty(M,\mathbb R)\mapsto f(x)\in \mathbb R, x\in M

un homomorphisme d’algèbres associatives.
(*****) Pour rappel, un tel opérateur est une application linéaire T : C^\infty(M,\mathbb R)\to C^\infty(M,\mathbb R) dont les expressions locales dans toute carte de M sont des combinaisons linéaires à coefficients de classe C^\infty des dérivées partielles d’ordre au plus i :

\sum_{j=0}^i\sum_{r_1\leqslant \cdots \leqslant r_j}T^{r_1\cdots r_j}\partial_{r_1}\cdots \partial_{r_j}

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