Algèbres de Poisson quantiques et classiques III

J’ai annoncé ici que, moyennant certaines hypothèses, Janusz Grabowski et Norbert Poncin montrent que deux algèbres de Poisson quantiques isomorphes ont des bases isomorphes et expliqué comment ils ont exploité ce résultat pour caractériser une variété différentielle M à difféomorphisme près à l’aide de l’algèbre \mathcal D_M des opérateurs différentiels agissant sur ses fonctions lisses.

Afin d’appliquer leur tactique à d’autres algèbres de Lie, Elie Zihindula Mushengezi a du modifier leurs hypothèses car elles ne s’appliquent pas aux algèbres qu’il visait. D’un certain point de vue, les résultats qu’il obtient pour celles-ci généralisent le leur en ce sens que les algèbres \mathcal D_M vérifient ses hypothèses.

Je vais à présent formuler ces dernières et vous décrire une famille d’algèbres de Lie que nous avons utilisées lui, Thomas Leuther et moi pour caractériser les fibrés vectoriels. Je conserve la terminologie originale, qui est inspirée de celle de Janusz Grabowski et de Norbert Poncin, quand bien même je n’en raffole pas.

Des hypothèses

Une algèbre de Poisson classique \mathcal S est dite :

  • non singulière si \{\mathcal S^0,\mathcal S^1\}=\mathcal S^0
  • quasi-distinguante si le centralisateur de \mathcal S^0 dans \mathcal S est \mathcal S^0(*)
  • symplectique si son centre est \mathbb K1, où 1 est l’unité de \mathcal S et \mathbb K le corps des scalaires(**)

On dit qu’une algèbre de Poisson quantique a l’une de ces propriétés si sa limite semi-classique l’a.

et des résultats

Voici alors des résultats d’Elie Zihindula Mushengezi, présentés dans sa thèse de doctorat.

Tout isomorphisme d’algèbre de Lie entre algèbres de Poisson quantiques non singulières, quasi-distinguantes et symplectiques est filtré et induit un isomorphisme d’algèbres associatives entre leurs bases.

et

Tout isomorphisme d’algèbre de Lie entre algèbres de Poisson classiques non singulières, quasi-distinguantes et symplectiques est gradué et induit un isomorphisme d’algèbres associatives entre leurs bases.

Comme les hypothèses décrites plus haut ne concernent que les termes de degré 0 et 1 de \mathcal S, il montre dans la foulée que les mêmes conclusions sont valables si, au lieu d’isomorphismes d’algèbres quantiques ou classiques, on considère des isomorphismes restreints à leur sous-algèbres de degré 1(***).

Les fonctions polynomiales sur un fibré vectoriel

Considérons un fibré vectoriel (E,p,M) (de classe C^\infty). Le champ d’Euler \mathcal E de ce fibré est le champ de vecteurs de E dont le flot est

(t,u)\in \mathbb R\times E\mapsto e^tu\in E

L’ensemble des valeurs propres de la dérivée de Lie \mathrm L_\mathcal E: C^\infty(E,\mathbb R)\to C^\infty(E,\mathbb R) est \mathbb N et son espace propre de valeur propre k est l’ensemble \mathcal A_E^k des éléments de C^\infty(E,\mathbb R) dont les restrictions aux fibres de E sont des polynômes homogènes de degré k. Puisque

L_\mathcal E(uv)=(L_\mathcal E u)v+u(L_\mathcal E v)

on a

\mathcal A_E^k\mathcal A_E^l\subset \mathcal A_E^{k+l}

pour tout k,l \in \mathbb N et

\mathcal A_E=\bigoplus_{k\in \mathbb N}\mathcal A_E^k

est donc une sous-algèbre associative de C^\infty(E,\mathbb R).

Les algèbres \mathcal D_\mathcal E et \mathcal G_E

La dérivée de Lie L_\mathcal E s’étend aux opérateurs différentiels de E en posant

\forall T\in \mathcal D_E, \quad L_\mathcal ET=[L_\mathcal E,T]

ce qui permet de définir les opérateurs différentiels polynomiaux sur E en s’inspirant de la construction de ses fonctions polynomiales donnée ci-dessus.
Nous poserons ainsi

\mathcal D_\mathcal E=\bigoplus_{k\in \mathbb Z}\mathcal D_\mathcal E^k

et

\mathcal D_\mathcal E^k=\{T\in\mathcal D_E| L_\mathcal ET=kT\}

Afin de bien comprendre ce que sont les opérateurs différentiels introduits, voyons à quoi ils ressemblent en coordonnées locales. Dans des coordonnées locales (x^1,\ldots,x^m,\xi^1,\ldots,\xi^r) adaptées à E, les x^i étant des coordonnées locales de la base et les \xi^j décrivant les composantes des points des fibres, l’expression locale d’un élément quelconque T\in \mathcal D_E est une somme de termes de la forme

T^{\alpha\beta}\partial_\alpha\overline{\partial}_\beta

Dans cette expression, T^{\alpha\beta} est une fonction de classe C^\infty, \alpha=(\alpha^1,\ldots,\alpha^m) et \beta=(\beta^1,\ldots,\beta^r) sont des multi-indices et

\partial_\alpha=\partial_1^{\alpha^1}\cdots\partial_m^{\alpha^m} \quad \& \quad \overline{\partial}_\beta=\overline{\partial}_1^{\beta^1}\cdots\overline{\partial}_r^{\beta^r}

\partial_i est la dérivée partielle par rapport à x^i et \overline{\partial}_j celle par rapport à \xi^j. Cela étant, T appartient à \mathcal D_\mathcal E^k si, et seulement si, dans tous les systèmes de coordonnées adaptées, les fonctions T^{\alpha\beta} sont polynomiales de degré k+|\beta| en les \xi^j. Ceci nous fait comprendre, par exemple, que les opérateurs différentiels d’ordre zéro appartenant à \mathcal D_\mathcal E sont les multiplications par les éléments de l’algèbre \mathcal A_E.

Cela étant, comme

L_\mathcal E(ST)=(L_\mathcal ES)T+S(L_\mathcal ET)

on a

\mathcal D_\mathcal E^k\mathcal D_\mathcal E^l\subset \mathcal D_\mathcal E^{k+l}

pour tous k,l\in\mathbb Z, de sorte que \mathcal D_\mathcal E est une sous-algèbre de Poisson quantique de \mathcal D_E, de base \mathcal A_E. Nous dirons que c’est l’algèbre des opérateurs polynomiaux de E.

Mais il y a mieux, on peut en effet obtenir cette algèbre par les méthodes abstraites présentées dans ce billet. Appliquons la construction de l’algèbre de Poisson quantique d’un \mathfrak a-module \mathfrak m qui y est décrite en prenant \mathfrak a=\mathfrak m=\mathcal A_E, \mathcal A_E agissant sur lui-même par multiplication. L’algèbre de Poisson quantique obtenue est une sous-algèbre de \mathcal L(\mathcal A_E,\mathcal A_E). C’est elle que je note \mathcal G_E. Sa base est (isomorphe à) \mathcal A_E.

Soient alors T\in\mathcal D_\mathcal E^k et u\in\mathcal A_E^l. On a

L_\mathcal E(T(u))=(L_\mathcal ET)(u)+T(L_\mathcal Eu)=(k+l)T(u)

Par conséquent, T(\mathcal A_E^l)\subset \mathcal A_E^{k+l} étant entendu que, par convention, \mathcal A_E^i est nul lorsque i<0. Ainsi, les éléments de \mathcal D_\mathcal E stabilisent \mathcal A_E. Ceci noté, Elie Zihindula Mushengsi et moi-même avons obtenu le résultat suivant.

L’application

T\in\mathcal D_\mathcal E\mapsto T_{|\mathcal A_E}\in \mathcal L(\mathcal A_E,\mathcal A_E)

est un isomorphisme d’algèbres de Poisson quantiques de \mathcal D_\mathcal E sur \mathcal G_E.

La preuve, assez difficile, que nous en avons donnée est trop longue pour être exposée sur ce blog.

Caractérisations algébriques des fibrés vectoriels

Voici un premier résultat. C’est l’analogue pour les fibrés vectoriels de l’exercice de Milnor (voir ce billet).

(1) Des fibrés vectoriels (E,p,M) et (F,q,N) sont isomorphes si, et seulement si, les algèbres associatives \mathcal A_E et \mathcal A_F sont isomorphes.

Il se fait que l’algèbre de Lie \mathcal D_\mathcal E est non singulière, quasi-distinguante et symplectique et c’est relativement facile à montrer. Par conséquent, vu ce qui précède, si les algèbres de Lie d’opérateurs différentiels homogènes de fibrés vectoriels (E,p,M) et (F,q,N), ou leurs limites semi-classiques, sont isomorphes, alors les algèbres associatives \mathcal A_E et \mathcal A_F sont isomorphes. Dès lors

Des fibrés vectoriels sont isomorphes si, et seulement si, leurs algèbres d’opérateurs différentiels homogènes, ou les limites semi-classiques de ces algèbres, sont isomorphes en tant qu’algèbres de Lie.

Une première version de ce théorème a été publiée dans SIGMA 8 (2012), 004, 10 pages. Elle contenait une hypothèse supplémentaire, de nature topologique(****). Nous en avions besoin alors pour prouver que si \mathcal A_E et \mathcal A_F sont isomorphes, alors les fibrés le sont aussi. Par la suite, Thomas Leuther (non publié) et Elie Zihindula Mushengezi (dans sa thèse de doctorat) ont montré, indépendamment l’un de l’autre, que cette hypothèse est superflue. Il s’avère en fait que, contrairement à l’exercice de Milnor, (1) est très difficile à établir.

A suivre …

😉

__________
(*) Cela signifie que les seuls éléments de \mathcal S qui commutent avec ceux de \mathcal S^0 sont ceux de \mathcal S^0.
(**) Pour nous, ce sera \mathbb R, vu les applications que nous envisageons.
(***) C'est-à-dire \mathcal F^1 pour une algèbre de Poisson quantique \mathcal F et \mathcal S^0\oplus\mathcal S^1 pour une algèbre de Poisson classique \mathcal S.
(****) En l’occurrence, nous supposions que l’un des espaces de cohomologie H^1(M,\mathbb Z/2), H^1(N,\mathbb Z/2) est nul.

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