Autour des équations du premier degré I

Si (a,b)\in \mathbb R^2 n’est pas nul, alors (-b,a) est une base de la droite vectorielle qui lui est perpendiculaire.
Cette observation a beau être élémentaire, elle est très utile. Elle permet par exemple de trouver facilement un vecteur directeur d’une droite dont on donne une équation cartésienne ax+by+c=0. En effet, les coefficients des inconnues sont les composantes (a,b) d’un vecteur perpendiculaire à la droite de sorte que (-b,a) sont celles d’un de ses vecteurs directeurs. Autre point de vue, (-b,a) est une base de l’espace des solutions de l’équation homogène ax+by=0 associée à l’équation ax+by+c=0, ce qui donne une description paramétrique de l’ensemble des solutions de celle-ci :

\begin{cases}x=-\frac{ac}{a^2+b^2}-bt\\[1ex]y=-\frac{bc}{a^2+b^2}+at\end{cases}

Essayons de généraliser. Il est facile de produire une solution de l’équation du premier degré à n inconnues \sum_{i=1}^na_ix_i+b=0, en l’occurrence

\left\{\begin{array}{rcl}x_1 &=&-\frac{a_1b}{a_1^2+\cdots+a_n^2}\\ &\vdots&\\x_n &=&-\frac{a_nb}{a_1^2+\cdots+a_n^2}\end{array}\right.

Pour résoudre complètement l’équation, il reste donc à déterminer la solution générale de l’équation homogène associée.

Remarquons qu’on peut obtenir les solutions de l’équation homogène ax+by=0 par une méthode susceptible, a priori, de s’appliquer à \sum_{i=1}^na_ix_i=0. La voici. Adjoignons l’équation -bx+ay=t à l’équation ax+by=0. Le système

\begin{cases}ax+by=0\\-bx+ay=t\end{cases}

est un système de Cramer. Son unique solution est

\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}0\\t\end{pmatrix}=\frac{1}{a^2+b^2}\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\t\end{pmatrix}=\frac{t}{a^2+b^2}\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}

Lorsque t balaye \mathbb R, elle décrit les solutions de ax+by=0.

Pour le cas général, l’idée est d’adjoindre à l’équation homogène

(1) a_1x_1+\cdots+a_nx_n=0

n-1 équations du premier degré dont les termes indépendants t_j sont indéterminés, de manière à former, quel que soit (a_1,\ldots,a_n)\in\mathbb R^n\setminus\{0\}, un système de Cramer. La solution de ce système dépend linéairement des paramètres t_j et constitue alors une description paramétrique des solutions de l’équation (1). Naturellement, les coefficients des équations ajoutées sont des fonctions des a_i et, en laissant (t_1,\ldots,t_{n-1}) décrire une base de \mathbb R^{n-1}, on obtient une base de l’espace des solutions de (1), constituée de fonctions des a_i et généralisant la base \{(-a_2,a_1)\} de l’équation relative à n=2.

Voici un exemple pour n=4 où, pour alléger l’écriture, je laisse tomber les indices et j’écris ax+by+cz+du=0 l’équation homogène du premier degré à quatre inconnues (x,y,z,u). Le système proposé est

\begin{cases}ax+by+cz+du=0\\bx-ay+dz-cu=t_1\\-cx+dy+az-bu=t_2\\dx+cy-bz-au=t_3\end{cases}

La matrice A des coefficients des inconnues de ce système vérifie ^tAA=(a^2+b^2+c^2+d^2)I_4, où I_4 est la matrice unité de dimension 4. La solution du système s’écrit donc

\begin{pmatrix}x\\y\\z\\u\end{pmatrix}=\frac{t_1}{a^2+b^2+c^2+d^2}\begin{pmatrix}b\\-a\\d\\-c\\\end{pmatrix}+\frac{t_2}{a^2+b^2+c^2+d^2}\begin{pmatrix}-c\\d\\a\\-b\\\end{pmatrix}+\frac{t_3}{a^2+b^2+c^2+d^2}\begin{pmatrix}d\\c\\-b\\-a\\\end{pmatrix}

En particulier,

(2) ((b,-a,d,-c),(-c,d,a,-b),(d,c,-b,-a))

est une base des solutions de l’équation ax+by+cz+du=0.

En fait, d’après l’axiome du choix, la méthode de résolution de l’équation (1) envisagée ci-dessus s’applique à toute valeur de n. En effet, pour chaque \mathbf a=(a_1,\ldots,a_n)\neq 0, l’ensemble e_\mathbf a des matrices non singulières, carrées et de dimension n, dont la première ligne est \mathbf a, n’est pas vide. On le voit facilement. D’après l’axiome, il existe donc une fonction qui, à tout \mathbf a\in\mathbb R^n\setminus \{0\}, associe un élément A_\mathbf a de e_\mathbf a. On obtient alors un système de Cramer en adjoignant à (1) des équations dont les coefficients des inconnues décrivent les n-1 dernières lignes de A_\mathbf a.

L’application de l’axiome du choix n’est en rien constructive. En particulier, elle ne permet pas de préjuger des propriétés analytiques des fonctions \mathbf a\mapsto A_\mathbf a dont l’axiome assure l’existence. A cet égard, la situation est pire que ce qu’on pourrait peut-être imaginer, comme nous allons à présent le constater.

Un théorème de J. F. Adams

Dans \mathbb R^n, on note S^{n-1} la sphère de centre \mathbf 0=(0,\ldots,0) et de rayon 1. C’est l’ensemble

\{x\in\mathbb R^n|\quad\|x\|=1\}

des points de \mathbb R^n à distance 1 de l’origine. Sa dimension est n-1. Par exemple, la sphère S^1 est le cercle trigonométrique.

En tout point \mathbf p=(a,b)\in S^1, la base (-b,a) des solutions de l’équation ax+by=0 est aussi une base des vecteurs directeurs de la tangente à S^1 en \mathbf p puisque ceux-ci sont les éléments de \mathbb R^2 perpendiculaires à \mathbf p. De même, (2) est, en tout point \mathbf p =(a,b,c,d) de S^3, une base du vectoriel directeur de l’espace tangent à S^3 en \mathbf p car les vecteurs directeurs de celui-ci sont, semblablement, les éléments de \mathbb R^3 perpendiculaires à \mathbf p. En général, une base des solutions de (1) est une base du vectoriel directeur de l’espace tangent à S^{n-1} en (a_1,\ldots a_n).

Une fonction qui associe à tout point \mathbf p de S^{n-1} un vecteur directeur de son espace tangent en \mathbf p est un champ de vecteurs de S^{n-1}. Le nombre maximum c_n de champs de vecteurs continus de S^{n-1} dont les valeurs en chaque point sont linéairement indépendantes est connu. Il a été calculé par J. F. Adams dans l’article Vector fields on spheres publié en 1962 dans le volume 75 de la revue Annals of Mathematics. Voici le résultat.

Soit k la plus grande puissance de 2 divisant n. Si r et s sont le quotient et le reste par défaut de la division de k par 4 alors

c_n=2^s+8r-1

Par exemple, pour n=2, k=1, r=0, s=1 de sorte que c_2=1; pour n=4, k=2, r=0, s=2 et c_4=3.

Lorsque n est impair, k est nul et, par conséquent, c_n=0. Autrement dit, tout champ de vecteurs continu sur une sphère de dimension paire s’annule en un point au moins. Ce théorème est connu sous le nom de théorème de la boule chevelue, on devine assez facilement pourquoi …

Revenons-en à l’équation (1). Pour être un tant soit peu exploitable, une base de ses solutions devrait posséder des propriétés analytiques assez riches comme dépendre polynomialement des a_i par exemple. Le minimum absolu exigible me semble être qu’elle en dépende continûment. D’après le théorème de J. F. Adams, il faut pour cela que c_n=n-1. Or, comme vous vous en apercevrez facilement, les seules valeurs de n pour lesquelles cela a lieu sont, si on excepte 1 pour des raisons évidentes, 2,4,8. Autrement dit, en dehors de ces trois valeurs, il est impossible de trouver des formules raisonnables donnant pour chaque valeurs de (a_1,\ldots,a_n)\in\mathbb R^n\setminus\{0\}, une base des solutions de l’équation (1). Ainsi, pour anodine qu’elle puisse paraître, on ne dispose donc pas de formules décrivant en toute généralité les solutions de l’équation à trois inconnues ax+by+cz+d=0, équation pourtant bien utile puisqu’elle décrit analytiquement les plans des espaces affines de dimension trois!

Mais qu’en est-il des équations à deux, quatre et huit inconnues? Nous connaissons déjà la réponse pour les deux premières. Je vous parlerai de la troisième dans un autre billet. Ce sera l’occasion de vous montrer un surprenant système de deux équations à deux inconnues …

😉

Une réflexion sur “Autour des équations du premier degré I

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