Une brève : à propos des systèmes de trois équations linéaires à deux inconnues

Chaque année, j’enseigne par la géométrie analytique le théorème de Ceva à certains de mes étudiants de première année d’université. Il s’agit d’obtenir une condition nécessaire et suffisante pour que trois droites d’un plan affine issues des sommets d’un triangles soient parallèles ou concourantes. Ayant choisi un repère du plan, chacune est caractérisée par une équation, disons a_ix+b_iy+c_i=0, i=1,2,3, et la condition en question équivaut à l’annulation du déterminant

\Delta:=\begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\\\end{vmatrix}

Cela n’est pas si simple à expliquer: leur connaissance de la géométrie analytique est plus limitée que je le pensais. Ils savent ce qui suit.
Un plan affine \alpha étant rapporté à un repère :

  • Les droites de \alpha sont caractérisées par des équations du premier degré.
  • Si ax+by+c=0 est une équation d’une droite, alors ax+by=0 est une équation de son vectoriel directeur.
  • Un système carré AX=0 d’équations linéaires homogènes admet une solution non nulle si, et seulement si, \det A=0.

Voici alors comment je leur explique que les droites caractérisées par les équations du système

(I) \begin{cases}a_1x+b_1y+c_1=0\\a_2x+b_2y+c_2=0\\a_3x+b_3y+c_3=0\end{cases}

sont parallèles ou concourantes si, et seulement si, \Delta=0 en utilisant uniquement les faits rapportés ci-dessus.

J’introduis d’abord le système homogène à trois inconnues x,y,z

(II) \begin{cases}a_1x+b_1y+c_1z=0\\a_2x+b_2y+c_2z=0\\a_3x+b_3y+c_3z=0\end{cases}

Ensuite je démontre que si les droites sont parallèles ou concourantes, alors \Delta=0, comme ceci. Si les droites sont parallèles, elles admettent un vecteur directeur commun. Ses composantes (u,v) ne sont pas toutes nulles et forment une solution du système obtenu en annulant les termes indépendants dans (I). Le système (II) admet donc une solution non triviale, (u,v,0), de sorte que son déterminant, \Delta, est nul. Si les droites sont concourantes, le système (I) admet une solution (x,y). Le système (II) admet alors la solution non triviale (x,y,1) et son déterminant est à nouveau nul.

Enfin, je passe à la réciproque. Si \Delta est nul, le système (II) admet une solution (x_0,y_0,z_0)\neq (0,0,0). Si z_0=0, alors (x_0,y_0) sont les composantes d’un vecteur directeur commun aux droites, lesquelles sont donc parallèles. Sinon, en divisant les deux membres des équations de (II) par z_0, on voit que

(\frac{x_0}{z_0},\frac{y_0}{z_0})

est une solution du système (I) et les droites sont concourantes.

4 réflexions sur “Une brève : à propos des systèmes de trois équations linéaires à deux inconnues

  1. Oui, c’est un joli exercice. Je le pose presque tous les ans en colles. Mais dans ma version les coefficients devant y sont tous 1. Ca ne change rien à l’énoncé, car on peut toujours choisir un repère dans lequel les droites ne sont pas « verticales », mais ça simplifie un peu la preuve.

  2. Très élégant! Merci.

    Comment relie-t-on tout ça au résultat de géométrie synthétique:
    (AX), (BY) et (CZ) sont des « céviennes » du triangle ABC ssi \frac{BX}{XC}\cdot \frac{CY}{YA}\cdot \frac{AZ}{ZB}=1 ?
    (X \in [BC], Y\in [CA], Z \in [AB])

    • Je procède comme ceci. Je choisis le repère dans lequel les coordonnées de A, B, C sont (0,0), (1,0), (0,1) puis , comme paramètres, les rapports de sections

      \alpha=\frac{BX}{XC}, \beta=\frac{CY}{YA}, \gamma=\frac{AZ}{ZB}

      et j’en déduis des équations des trois céviennes, en utilisant le fait que si \sigma est le rapport de section par rapport à [A,B] d’un point X de la droite AB, alors

      X=\frac{1}{1+\sigma}A+\frac{\sigma}{1+\sigma}B

      On voit alors que l’annultaion de \Delta équivaut à \alpha\beta\gamma=1.
      🙂

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