Autour des équations du premier degré II

Nous avons appris ici que seules les équations homogènes du premier degré à deux, quatre et huit inconnues admettent une base de leur espace de solutions exprimable au moyen de fonctions continues des coefficients de leurs inconnues. Dans le même billet, j’ai montré une telle base pour les équations à deux et quatre inconnues. Si le cas de l’équation à deux inconnues est complètement trivial, la base pour l’équation à quatre inconnues a été parachutée sans explications sur la manière dont on l’a obtenue. Dans le présent billet, je vais vous montrer comment, en s’inspirant du cas de l’équation à deux inconnues, on peut systématiquement produire des bases pour les équations à quatre et huit inconnues.

D’après le billet mentionné plus haut, tout revient à construire, pour l’équation à n inconnues, une fonction continue qui à tout \mathbf a=(a_1,\ldots,a_n)\in\mathbb R^n\setminus\{0\} associe une matrice non singulière A_\mathbf a dont la première ligne soit \mathbf a.

Pour n=2, on a obtenu

A_\mathbf a=\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}

et pour n=4, j’ai donné

A_\mathbf a=\begin{pmatrix}a&b&c&d\\b&-a&d&-c\\-c&d&a&-b\\d&c&-b&-a\end{pmatrix}

L’équation à quatre inconnues

Pour l’équation ax+by+cz+du=0, la clé consiste à considérer qu’elle est la partie réelle d’une équation complexe à deux inconnues \alpha\xi+\beta\eta=0 dont les parties réelles et imaginaires des coefficients \alpha,\beta sont, au signe près, a,b,c,d. On peut par exemple poser

\xi=x+iy, \eta=z+iu, \alpha=a-ib, \beta =c-id

En s’inspirant de la matrice obtenue pour l’équation à deux inconnues, on adjoint alors l’équation -\bar\beta\xi+\bar\alpha\eta=0, ce qui donne le système

(1) \begin{cases}\alpha\xi+\beta\eta=0\\-\bar\beta\xi+\bar\alpha\eta=0\end{cases}

Comme

\det\begin{pmatrix}\alpha&\beta\\-\bar\beta&\bar\alpha\end{pmatrix}=|\alpha|^2+|\beta|^2=a^2+b^2+c^2+d^2>0

il est de Cramer. Le système de quatre équations en x,y,z,u obtenu en passant aux parties réelles et imaginaires des équations complexes, à savoir

\begin{cases}ax+by+cz+du=0\\-bx+ay-dz+cu=0\\-cx+dy+az-bu=0\\-dx-cy+bz+ay=0\end{cases}

est donc aussi de Cramer de sorte que sa matrice des coefficients des inconnues

\begin{pmatrix}a&b&c&d\\-b&a&-d&c\\-c&d&a&-b\\-d&-c&b&a\end{pmatrix}

est non singulière et répond donc à la question. A noter qu’elle ne diffère de la matrice A_\mathbf a donnée plus haut pour n=4 que par le signe de certaines lignes.
Il est remarquable également que les lignes de cette matrice soient orthogonales deux à deux et de mêmes longueurs. A cause de cela, les trois dernières constituent une base des solutions de l’équation ax+by+cz+du=0, base qu’on n’a ainsi plus à calculer par la méthode suggérée dans le billet mentionné en début d’article. Cette remarque permet également de calculer le déterminant de la matrice. En effet, si on la multiplie par sa transposée, on obtient (a^2+b^2+c^2+d^2)I_4 si bien que le carré de son déterminant vaut (a^2+b^2+c^2+d^2)^4. Comme le produit de ses éléments diagonaux vaut a^4, ce déterminant vaut (a^2+b^2+c^2+d^2)^2, ce qui confirme le fait qu’il n’est pas nul.

L’équation à huit inconnues

Pour appliquer à l’équation à huit inconnues

(2) a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3+a_4x_4+a_5x_5+a_6x_3+a_7x_7+a_8x_8=0

la même tactique que pour l’équation à quatre inconnues, on va grouper inconnues et coefficients par quatre et substituer à l’algèbre des nombres complexes une algèbre définie sur l’ensemble des quadruplets de nombres réels afin d’écrire et de manipuler aisément des équations du premier degré dont les coefficients et les inconnues soient de tels quadruplets. En l’occurrence, il s’agit de l’algèbre \mathbb H des quaternions. Nous allons donc considérer l’équation précédente comme la partie réelle d’une équation du premier degré à deux inconnues posée dans \mathbb H et adjoindre à celle-ci une seconde équation du même type de manière à former un système non dégénéré. En passant aux composantes, nous obtiendrons ainsi un système de Cramer de huit équations réelles en les x_i. La matrice des coefficients des inconnues de ce système répondra à la question.

Par analogie avec le cas de l’équation à quatre inconnues, on pourrait penser au système (1), où cette fois, coefficients et inconnues sont quaternioniques, mais cela ne fonctionne pas. En effet, l’algèbre des quaternions est associative mais pas commutative — les seuls quaternions qui commutent avec tous les quaternions sont les nombres réels — et la théorie des systèmes linéaires réels ou complexes ne s’applique pas aux systèmes quaternioniques. C’est principalement du à l’absence d’une bonne notion de déterminant pour les matrices carrées dont les éléments appartiennent à une algèbre non commutative.

Voici deux manifestations de ce phénomène. La seconde nous concerne plus particulièrement. Si \alpha\beta\neq\beta\alpha, la matrice

\frac{1}{|\alpha|^2+|\beta|^2}\begin{pmatrix}\bar\alpha&-\beta\\\bar\beta&\alpha\end{pmatrix}

n’est pas un inverse de la matrice

\begin{pmatrix}\alpha&\beta\\-\bar\beta&\bar\alpha\end{pmatrix}

contrairement à ce qu’on pourrait penser. Par ailleurs, sur \mathbb H, le système (1) peut avoir une infinité de solutions, même dans le cas où |\alpha|^2+|\beta|^2\neq 0. Par exemple, lorsque \alpha=i et \beta=j, ses solutions sont (k\gamma,\gamma), \gamma\in \mathbb H.

Nous n’allons pas abandonner pour autant notre idée et, paradoxalement, peut-être, le salut va venir de la non commutativité de l’algèbre des quaternions. En effet, à cause de cette non commutativité, il y a plusieurs formes d’équations du premier degré à deux inconnues. Elles diffèrent par la position des coefficients par rapport aux inconnues. Il y a a priori trois formes possibles

\alpha\xi+\beta\eta=0, \xi\alpha+\beta\eta=0, \xi\alpha+\eta\beta=0

Cela dit, la première et la troisième sont équivalentes car elles s’échangent par conjugaisons. En effet, dans \mathbb H, \overline{\alpha\beta}=\bar\beta\bar\alpha. Par conséquent \overline{\xi\alpha+\eta\beta}=\bar\alpha\bar\xi+\bar\beta\bar\eta. Comme la première forme ne peut pas nous convenir, vu ce que nous avons observé plus haut, c’est donc vers la seconde que nous allons nous tourner.

Choisissons donc une équation de la forme \xi\alpha+\beta\eta=0 dont la partie réelle soit l’équation (2), en faisant en sorte que les composantes des quaternions \alpha,\beta soient, au signe près, les huit coefficients a_i. Je dis alors que \xi=0, \eta=0 est la seule solution du système

(3) \begin{cases}\xi\alpha+\beta\eta=0\\\bar\beta\xi-\eta\bar\alpha=0\end{cases}

En effet, si (\xi,\eta) est une solution, alors, en appliquant l’associativité de la multiplication des quaternions et le fait que les réels commutent avec tous les quaternions, il vient

0=(\xi\alpha+\beta\eta)\bar\alpha+\beta(\bar\beta\xi-\eta\bar\alpha)=\xi|\alpha|^2+\beta\eta\bar\alpha+|\beta|^2\xi-\beta\eta\bar\alpha=(|\alpha|^2+|\beta|^2)\xi\\

Semblablement, 0=\bar\beta(\xi\alpha+\beta\eta)-(\bar\beta\xi-\eta\bar\alpha)\alpha=(|\alpha|^2+|\beta|^2)\eta

La conclusion vient alors du fait que

|\alpha|^2+|\beta|^2=\sum_{i=1}^8a_i^2 >0

En passant aux composantes des équations du système (3), on obtient un systèmes de huit équations réelles homogènes en les x_i parmi lesquelles on retrouve (2). Il n’admet pas d’autre solution que (0,0,0,0,0,0,0,0). Le déterminant de la matrice des coefficients des inconnues de ce système est donc différent de zéro. La matrice en question est donc une solution à notre problème. Notez que ses éléments sont chacun égaux à un coefficient de (2) ou à l’opposé d’un coefficient de (2). Cette matrice est donc vraiment très simple! Voici un exemple de matrice obtenue par le procédé décrit :

A_\mathbf a=\begin{pmatrix}a_1&a_2&a_3&a_4&a_5&a_6&a_7&a_8\\a_2&-a_1&a_4&-a_3&a_6&-a_5&a_8&-a_7\\-a_3&a_4&a_1&-a_2&a_7&-a_8&-a_5&a_6\\a_4&a_3&-a_2&-a_1&a_8&a_7&-a_6&-a_5\\a_5&-a_6&a_7&-a_8&-a_1&a_2&-a_3&a_4\\-a_6&-a_5&a_8&a_7&a_2&a_1&-a_4&-a_3\\-a_7&a_8&a_5&-a_6&-a_3&a_4&a_1&-a_2\\-a_8&-a_7&-a_6&-a_5&a_4&a_3&a_2&a_1\end{pmatrix}

On constate à nouveau que ses lignes sont de mêmes longueurs et deux à deux orthogonales. Les sept dernières forment donc une base des solutions de (2). Quant à son déterminant, je vous laisse le calculer …

A suivre …

😉

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Une réaction sur “Autour des équations du premier degré II

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