Autour des équations du premier degré III — Le doublage de Cayley-Dickson

Certains lecteurs se demandent peut-être comment obtenir pratiquement une matrice telle que la matrice présentée à la fin du billet précédent; d’autres ne connaissent peut-être pas les quaternions, pour lesquels ce billet risque alors de ne pas être très parlant.

Je vais présenter ici une construction de l’algèbre \mathbb H basée sur une jolie méthode, appelée le doublage de Cayley-Dickson, méthode qui permet d’obtenir facilement et systématiquement de telles matrices.

Le doublage de Cayley-Dickson

Ici, une algèbre est un espace vectoriel \mathcal A muni d’une application bilinéaire (x,y)\in\mathcal A\times\mathcal A\mapsto xy\in\mathcal A, le produit, ou encore la multiplication de l’algèbre. Une conjugaison d’une algèbre \mathcal A est un antihomomorphisme involutif, c’est-à-dire une application linéaire \varphi\in\mathcal L(\mathcal A,\mathcal A) telle que (antihomomorphisme)

\forall x,y\in\mathcal A, \quad \varphi(xy)=\varphi(y)\varphi(x)

et (involutivité) \varphi\circ \varphi=\mathrm{id}_\mathcal A. Pour simplifier, nous dirons qu’un couple (\mathcal A,\varphi) formé d’une algèbre et d’une de ses conjugaisons est une algèbre avec conjugaison. Souvent, s’il n’y a pas d’ambiguïté sur la conjugaison, on la désigne comme celle des nombres complexes, à l’aide d’un trait horizontal surmontant son argument : \varphi(x)=\bar x.

Le doublage de Cayley-Dickson est une construction qui associe à toute algèbre avec conjugaison (\mathcal A,\varphi) une structure d’algèbre avec conjugaison (\mathcal A^2,\Phi) sur l’espace vectoriel \mathcal A^2=\mathcal A \times \mathcal A. Le produit est donné par

(x,y)(u,v)=(xu-\varphi(v)y,vx+y\varphi(u))

et la conjugaison par

\Phi(x,y)=(\varphi(x),-y)

Un petit calcul est nécessaire pour vérifier que \Phi est une conjugaison — je ne le détaillerai pas, il est tout facile.

L’algèbre avec conjugaison \mathcal A s’identifie naturellement à une sous-algèbre de son double. L’application linéaire et injective \iota :x\in\mathcal A\mapsto (x,0)\in\mathcal A^2 est en effet un homomorphisme d’algèbres et vérifie \Phi\circ \iota=\iota\circ \varphi. Dans la suite, nous ne distinguerons pas \mathcal A de \iota\mathcal A.

Si \mathcal A admet une unité e, alors \varphi(e)=e et e est aussi une unité pour le double de \mathcal A. Dans la suite nous ne considérerons que des algèbres avec unité. Voici alors deux propriétés importantes. Leur vérifications reposent sur un peu de calcul. Elles sont directes et je ne les détaillerai pas non plus.

  • (1) Le double (\mathcal A^2,\Phi) est commutatif si, et seulement si, \mathcal A est commutatif et \varphi=\mathrm{id}_\mathcal A.
  • (2) Le double (\mathcal A^2,\Phi) est associatif si, et seulement si, \mathcal A est commutatif et associatif.

Un exemple simple et bien connu de double d’algèbre à conjugaison est l’algèbre des nombres complexes. C’est le double de l’algèbre des nombres réels munie de l’identité comme conjugaison. Conformément aux propriétés ci-dessus, l’algèbre des nombres complexes est commutative et associative, tout comme celle des nombres réels, mais sa conjugaison n’est pas l’identité.

L’algèbre des quaternions

Il y a plusieurs manières d’introduire l’algèbre \mathbb H des quaternions. L’une d’elles consiste dire que c’est le double de l’algèbre des nombres complexes. C’est donc l’ensemble \mathbb C^2 des couples de nombres complexes muni de l’addition

(u,v)+(u',v')=(u+u',v+v')

et de la multiplication

(3) (u,v)(u',v')=(uu'-v\bar{v'}, uv'+v\bar{u'})

D’après (2), celle-ci est associative mais, puisque la conjugaison des nombres complexes n’est pas l’identité, elle n’est pas commutative, vu (1), ce qui ressort aussi clairement de la dernière formule. Conformément à nos conventions, u\mapsto (u,0) identifie \mathbb C à une sous-algèbre de \mathbb H. Dès lors \mathbb R, identifié de façon analogue en son temps à une sous-algèbre de \mathbb C, est également une sous-algèbre de \mathbb H. Ce dernier contient donc 1, qui est son unité et i dont le carré vaut -1. De plus, comme on le voit facilement, les nombres réels commutent avec tous les quaternions et sont les seuls quaternions à le faire.

Les quaternions (0,1) et (0,i) sont notés respectivement j et k. Avec ces notations, tout quaternion q= (a+bi,c+di) prend la forme

q=a+bi+cj+dk

avec laquelle il est très facile de calculer avec les quaternions. En effet, l’addition et la multiplication des quaternions sont telles qu’on peut appliquer à ces expressions les règles usuelles du calcul des nombres réels en tenant compte de la table de multiplication des quaternions i,j,k. Celle-ci est facile à établir à l’aide de la formule (3). On obtient

\begin{cases}i^2=j^2=k^2=-1\\ij=-ji=k\\jk=-kj=i\\ki=-ik=j\end{cases}

Le conjugué du quaternion q=a+bi+cj+dk est \bar q=a-bi-cj-dk. Son module est, par définition, |q|=\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}. C’est donc la longueur du quaternion vu comme un élément (a,b,c,d) de \mathbb R^4. Comme pour les nombres complexes, on a |q|^2=q\bar q=\bar qq et |qq'|=|q||q'|. En particulier, un quaternion q est inversible si, et seulement si, il n’est pas nul, auquel cas

\frac{1}{q}=\frac{\bar q}{|q|^2}

Le nombre a=\frac 1 2(q+\bar q) est la partie réelle du quaternion q=a+bi+cj+dk et le quaternion bi+cj+dk=\frac 1 2(q-\bar q) sa partie pure.

Retour à l’équation du premier degré à huit inconnues

Dans l’article précédent, nous avons utilisé une équation du premier degré à deux inconnues \xi, \eta de la forme \xi\alpha+\beta\eta=0, posée dans \mathbb H, dont la partie réelle est l’équation du premier degré réelle à huit inconnues

(4) a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3+a_4x_4+a_5x_5+a_6x_3+a_7x_7+a_8x_8=0

et dont les composantes des coefficients \alpha,\beta sont, au signe près, les huit coefficients a_i. Voici un moyen simple d’obtenir une telle équation. Il exploite le fait qu’on passe des nombres réels aux quaternions par deux doublages successifs.

On va d’abord présenter (4) comme la partie réelle d’une équation du premier degré complexe à quatre inconnues

(5) u_1z_1+u_2z_2+u_3z_3+u_4z_4=0

C’est facile, on peut par exemple prendre

(a) \begin{cases}u_1=a_1+a_2i, u_2=a_3+a_4i, u_3=a_5+a_6i, u_4=a_7+a_8i\\z_1=x_1-x_2i, z_2=x_3-x_4i, z_3=x_5-x_6i, z_4=x_7-x_8i\end{cases}

Ensuite, on présente (5) comme la partie complexe — i.e. la première composante — d’une équation quaternionique de la forme demandée. Vu (3), on peut par exemple prendre

(z_1,-z_2)(u_1,\bar{u_2})+(u_3,-u_4)(z_3,\bar {z_4})=0

c’est-à-dire

(b) \begin{cases}\alpha=(u_1,\bar{u_2}), \beta=(u_3,-u_4)\\\xi=(z_1,-z_2), \eta=(z_3,\bar {z_4})\end{cases}

Dans l’article en question, on adjoint l’équation \bar\beta\xi-\eta\bar\alpha=0 à l’équation \xi\alpha+\beta\eta=0 afin d’obtenir, en passant aux composantes réelles des deux équations, un système non dégénéré de huit équations en les x_i comprenant l’équation (4). Compte tenu de (b), l’équation adjointe s’écrit

(\bar{u_3},u_4)(z_1,-z_2)-(z_3,\bar {z_4})(\bar{u_1},-\bar{u_2})=0

En passant aux composantes complexes de cette équation et de la précédente, on obtient quatre équations complexes en les z_i, parmi lesquelles (5). Il suffit alors de passer aux parties réelles et imaginaires de ces équations, à l’aide de (a), pour obtenir le système cherché.

C’est simple mais je ne le ferai pas explicitement. Mon but ici, était de démonter la mécanique de la méthode exposée dans le billet précédent et de vous présenter à cette occasion la notion de doublage d’algèbre à conjugaison. Nous venons de la voir fonctionner pour résoudre l’équation du premier degré à huit inconnues, ce qui semblera peut-être anecdotique à d’aucuns, et nous allons terminer ce billet par un résultat dont la beauté est incontestable.

Un théorème de Hurwitz

Le double d’une algèbre avec conjugaison étant une algèbre avec conjugaison, le processus de doublage donne, au départ d’une telle algèbre \mathcal A, une suite d’algèbres avec conjugaison n\mapsto \mathcal A_n dans laquelle \mathcal A_0=\mathcal A et, pour tout entier n>0, \mathcal A_n est le double de \mathcal A_{n-1}.

Nous connaissons les trois premiers termes d’une telle suite : \mathbb R, \mathbb C, \mathbb H. Le quatrième, noté \mathbb O, est l’algèbre des octaves de Cayley (ou de Graves qui, semblerait-il, les a découverts le premier mais sans publier ses résultats), encore appelés octonions. Le cinquième est l’algèbre des sédénions. Les suivants n’ont pas reçu de nom. Il faut dire que, vu les propriétés (1) et (2), qui montrent que le doublage affaiblit les propriétés de l’algèbre doublée, ils ne présentent, pour autant que je sache, aucun intérêt. Déjà, l’algèbre des octonions n’est pas associative mais il lui reste une forme affaiblie de l’associativité — on dit qu’elle est alternative.

Cela dit, comme espace vectoriels, \mathbb R=\mathbb R, \mathbb C=\mathbb R^2, \mathbb H=\mathbb R^4, \mathbb O=\mathbb R^8 et, dans chaque cas la longueur, au sens du produit scalaire canonique de \mathbb R^n, |x|=\sqrt{\sum_{i=1}^nx_i^2}, vérifie |xy|=|x||y|. Ce sont les seules algèbres ayant cette propriété. Hurwitz a en effet démontré que si une algèbre sur un espace vectoriel euclidien vérifie |xy|=|x||y|, où |\ | est la norme euclidienne de l’espace, alors elle est isomorphe à \mathbb R, \mathbb C, \mathbb H ou \mathbb O.

On trouve une démonstration de ce théorème dans le remarquable livre de John Conway et Derek Smith On Quaternions and Octonions, their geometry, arithmetic and symmetry, 2003, A. K. Peters (ISBN 1-56881-134-9).

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