Autour des équations du premier degré IV — Une solution rapide…

Dans les billets de titre générique Autour des équations du premier degré, nous nous posions essentiellement le problème d’obtenir une base des solutions de l’équation du premier degré a_1x_1+\cdots+a_nx_n=0 qui s’exprime raisonnablement en fonction des coefficients a_i.

Par raisonnablement, j’ai expliqué que j’entendais continûment, ce qui restreint drastiquement le problème puisque un théorème de J. F. Adams nous limite alors à n=2, 4, 8.

Par doublages successifs, j’ai montré comment exploiter la solution évidente obtenue pour l’équation à deux inconnues pour créer des solutions pour quatre et huit inconnues. Chemin faisant, nous avons rencontré un beau système d’équations du premier degré à deux inconnues posé dans une algèbre non commutative.

Nous avons aussi rencontré l’algèbre des quaternions et celles des octonions qui, avec les algèbres des nombres réels et complexes sont, d’après un théorème de Hurewitz, les seules algèbres \mathcal A sur un espace euclidien dont le produit vérifie

(1) \forall x,y\in \mathcal A, \quad |xy|=|x||y|

|\ | est la norme euclidienne.

Je vais à présent donner une autre solution. Elle exploite pleinement ce comportement du produit vis-à-vis de la norme. Alors que la solution précédente évite d’utiliser les octonions, celle-ci va les impliquer. De plus, elle utilise également une base de l’algèbre formée de 1 et d’unités imaginaires, i.e. d’éléments dont le carré vaut -1. Enfin, on peut en faire une présentation unifiée car elle exploite des caractéristiques communes à \mathbb C,\mathbb H et \mathbb O.

Notons \mathcal A une de ces algèbres, n sa dimension. La base canonique (e_1,\ldots,e_n) de l’espace \mathbb R^n sur lequel elle est définie est telle que e_1=1 et, pour k>1, e_k^2=-1. En mémoire des unités i, j, k,... des nombres complexes, des quaternions et des octonions, nous rebaptisons e_k en i_k. Le produit scalaire canonique de \mathbb R^n est noté x\cdot y. Il vérifie

(2) \forall x,y\in\mathbb R^n,\quad 2\ x\cdot y =|x+y|^2-|x|^2-|y|^2

On a alors la propriété suivante.

Pour tout x\in\mathcal A, les éléments i_1x,\ldots,i_nx de \mathcal A sont de longueurs |x| et deux à deux orthogonaux.

Voyons cela. D’après (1) et (2), il vient, en supposant k\neq l,

2\ i_kx\cdot i_lx=|(i_k+i_l)x|^2-|i_kx|^2-|i_lx|^2=\underbrace{|i_k+i_l|^2}_{=2}|x|^2-\underbrace{|i_k|^2}_{=1}|x|^2-\underbrace{|i_l|^2}_{=1}|x|^2=0

On conclut(*) en notant que |i_kx|=|i_k||x|=|x|.

Il résulte de la proposition que nous venons de vérifier que

Si x\in \mathcal A n’est pas nul, alors (i_2x,\ldots,i_nx) est une base de l’hyperplan orthogonal à x.

En effet, si x\neq 0, les éléments i_kx, k=2,\ldots, n, sont perpendiculaires à x et, comme ils sont deux à deux orthogonaux et non nuls, ils sont linéairement indépendants.

Dès lors, on obtient une base de l’espace des solutions de l’équation a_1x_1+\cdots +a_nx_n=0 sous la forme (i_2x,\ldots,i_nx), où x=a_1i_1+\cdots+a_ni_n et notre problème est ainsi résolu!

Par exemple, pour l’équation ax+by+cz+du=0 à quatre inconnues x,y,z,u, on forme le quaternion q=a+bi+cj+dk et la base correspondante des solutions de l’équation est constituée des quaternions

\begin{cases}iq=-b+ai-dj+ck=(-b,a,-d,c)\\jq=-c+di+aj-bk=(-c,d,a,-b)\\kq=-d-ci+bj+ak=(-d,-c,b,a)\end{cases}

C’est la même que celle trouvée au second billet de la série par la méthode des équations à deux inconnues.

😉

__________
(*) Notez que nous n’utilisons pas la propriété d’associativité dans cette preuve, ce qui est nécessaire puisque \mathbb O n’est pas associatif.

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