A propos de certaines enveloppes de droites I

Une courbe régulière donne lieu à une famille privilégiée de droites, à savoir celle de ses tangentes.

Le problème des enveloppes (de droites) consiste à se demander si une famille de droites donnée d’avance est constituée des tangentes à une courbe régulière et, le cas échéant, à voir comment on peut essayer de déterminer celle-ci.

Dans cette série de billets, je vais présenter un exemple assez général d’enveloppes dont on peut tracer « à la main » autant de points que l’on veut et qui va nous permettre de retrouver les propriétés optiques des coniques.

Je commence par rappeler une méthode classique de détermination des enveloppes. Considérons ainsi des droites de \mathbb R^2

\mathcal D_t\equiv a(t)x+b(t)y+c(t)=0

a,b,c:I\to\mathbb R sont des fonctions de classe C^\infty telles que a^2+b^2 soit sans zéro dans l’intervalle ouvert I de \mathbb R. Une courbe régulière (I_0,\gamma), où I_0 est un intervalle ouvert inclus dans I, est une enveloppe de la famille \mathcal D si, pour tout t\in I_0, la tangente de la courbe en \gamma(t) est \mathcal D_t. Pour qu’il en aille ainsi, il est nécessaire et suffisant que

\forall t\in I_0,\begin{cases} a(t)x(t)+b(t)y(t)+c(t)=0\\[1ex] a(t)x'(t)+b(t)y'(t)=0\end{cases}

x(t), y(t) sont les composantes de \gamma(t). La première équation exprime en effet que \gamma(t)\in\mathcal D_t et la seconde que \gamma'(t) est un vecteur directeur de \mathcal D_t.

En dérivant la première et en reportant le résultat dans la seconde, nous obtenons le système, équivalent au précédent,

\forall t\in I_0, \begin{cases}a(t)x(t)+b(t)y(t)+c(t)=0\\[1ex]a'(t)x(t)+b'(t)y(t)+c'(t)=0\end{cases}

Il s’agit d’un système dont, pour chaque t\in I_0, la solution (x(t),y(t)) donne le point de contact de \gamma avec \mathcal D_t. Cette solution est assurée d’exister au voisinage de chaque t_0 pour lequel le système est de Cramer, i.e. si a(t_0)b'(t_0)-a'(t_0)b(t_0)\neq 0 ce qu’il reste au voisinage de t_0, par continuité. Lorsqu’elle existe, cette solution n’est pas nécessairement une courbe régulière, i.e. dont le vecteur tangent est sans zéro. Nous ne discuterons pas de cette question en général mais examinerons le problème au cas par cas.

Enveloppe des rayons orthogonaux

Considérons un point P=\gamma(t) d’une courbe régulière (I,\gamma) et un point O non situé sur son image(*). Nous dirons que la droite perpendiculaire à OP passant par P est le rayon orthogonal (en P) de \gamma (par rapport à l’origine O choisie)(**).

Voici alors une propriété des enveloppes de rayons orthogonaux que nous allons utiliser abondamment.

Soient une courbe régulière (I,\gamma), un point O, non situé sur son image, et un point P de \gamma. Le point de conctact P' du rayon orthogonal en P avec l’enveloppe des rayons orthogonaux de \gamma est situé sur la parallèle à la normale à \gamma en P issue du symétrique de O par rapport à P.

Elle est illustrée sur la figure suivante dans laquelle \mathcal T et \mathcal N sont respectivement la tangente et la normale à \gamma en P tandis que \mathcal D est le rayon orthogonal en P.

rayonorth

Elle est fort facile à démontrer. Voici une preuve possible.

Sans perte de généralité, nous pouvons supposer que O=(0,0) de sorte que \overrightarrow{OP}=\gamma. Le rayon orthogonal à \gamma en P=\gamma(t)=(\gamma^1(t),\gamma^2(t)) admet alors l’équation

\gamma^1(t)x+\gamma^2(t)y-\|\gamma\|^2=0

En dérivant celle-ci, on obtient l’équation d’une droite qui le recoupe en son point de contact avec l’enveloppe des rayons orthogonaux :

\gamma'^1(t)x+\gamma'^2(t)y-2\gamma(t)\cdot\gamma'(t)=0

Il s’agit de la droite qui passe par le point 2\gamma(t) et dirigée par (-\gamma'^2(t),\gamma'^1(t)). Le premier est le symétrique de O par rapport à P et le second est un vecteur directeur de la normale à \gamma en P, ce qui établit la propriété.

Remarquons que si OP est tangent à la courbe \gamma, alors le rayon orthogonal en P est normal à la courbe et, plutôt que d’être une tangente au sens strict à l’enveloppe des rayons orthogonaux, c’est une asymptote de celle-ci.

Notez que selon la définition, une famille de droites peut avoir plusieurs enveloppes, définies dans des intervalles différents. Commettant un petit abus de langage, je parlerai cependant souvent de l‘enveloppe d’une famille de droite, ayant en tête celle définie sur un intervalle maximal.

En voici assez pour les généralités. Les applications seront présentées dans des billets ultérieurs.

😉

__________
(*) Je distingue la fonction (I,\gamma), que j’appelle courbe, de son image \gamma(I). Néanmoins, je dirai par commodité d’un point de l’image que c’est un point de \gamma. Dans ces billets, les courbes sont supposées de classe C^\infty et le fait qu’une courbe soit régulière signifie que sa dérivée est sans zéro dans son l’intervalle de définition.
(**) La notion est peut-être bien connue dans la littérature, éventuellement sous un autre nom, mais je ne sais pas ce qu’il en est. Je l’avais considérée, il y a bien longtemps, lorsque je cherchais des idées d’exercices sur les enveloppes pour mes étudiants.

Une réflexion sur “A propos de certaines enveloppes de droites I

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