A propos de certaines enveloppes de droites II — Les paraboles

Dans le présent billet, nous allons identifier l’enveloppe des rayons orthogonaux d’une droite par rapport à un point.

L’enveloppe des rayons orthogonaux d’une droite \mathcal T par rapport à un point F ne lui appartenant pas est la parabole de foyer F et de tangente au sommet \mathcal T.

Pour vérifier ceci, on applique la propriété de l’enveloppe des rayons orthogonaux établie dans le billet précédent.

bissectrice

Le point de contact P' de l’enveloppe avec le rayon orthogonal relatif à P s’obtient en le coupant par la perpendiculaire à \mathcal T menée par le symétrique F' de F par rapport à P. Par construction, PP' est à la fois la médiane et la médiatrice issues du sommet P' du triangle FP'F'. Celui-ci est donc isocèle en P', i.e. \|P'F\|=\|P'F'\|. Or, lorsque P décrit \mathcal T, F' décrit la droite \mathcal D parallèle à la droite \mathcal T passant par le symétrique orthogonal de F par rapport à celle-ci. L’enveloppe considérée est donc la parabole de foyer F et de directrice \mathcal D, ce qui établit la propriété.

Exploitons davantage la propriété utilisée : la droite PP' est aussi la bissectrice intérieure en P' du triangle isocèle FP'F'. Par conséquent,

En tout point A d’une parabole, la tangente et la normale à celle-ci sont les bissectries des angles formés par la parallèle à l’axe menée par A et la droite passant par A et le foyer de la parabole.

On dit de cette propriété que c’est la propriété optique de la parabole car elle implique que le rayon réfléchi d’un rayon lumineux issu du foyer d’un miroir parabolique est parallèle à l’axe de symétrie de ce dernier.

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