A propos de certaines enveloppes de droites III — Les ellipses et les hyperboles

Grâce à la propriété présentée dans ce billet, nous allons pouvoir identifier l’enveloppe des rayons orthogonaux d’un cercle par rapport à un point qui ne lui appartient pas. Selon la position du point par rapport au cercle, il s’agit d’une ellipse ou d’une hyperbole.

L’enveloppe orthogonale d’un cercle \mathcal C par rapport à un point F intérieur à ce cercle est une ellipse dont les foyers sont F et le symétrique F' de F par rapport au centre C du cercle et dont \mathcal C est le cercle principal.

ellipse

En effet, le point de contact P' du rayon orthogonal en P avec l’enveloppe s’obtient en le coupant par la parallèle à CP (c’est la normale du cercle en P) menée par le symétrique F_P de F par rapport à P.

Observons que, puisque P est le milieu du segment [F,F_P], cette parallèle rencontre le diamètre FC en le symétrique F' de F par rapport à C(*). De plus, comme \|FC\| vaut le rayon r du cercle,

(1) \|F_PF'\|=2r

Le triangle FP'F_P est isocèle en P' puisque, par construction, PP' en est à la fois une médiane et une hauteur. En particulier, \|FP'\|=\|F_PP'\|. Vu (1), ceci implique que

\|P'F\|+\|P'F'\|=2r

ce qui permet de conclure.

Cela étant, comme P'P est aussi la bissectrice intérieure en P' du triangle FP'F_P, on obtient la propriété optique des ellipses :

En tout point d’une ellipse, la tangente et la normale sont les bissectrices des angles formés par les droites joignant ce point aux foyers de l’ellipse.

Un raisonnement similaire à la première preuve permet de démontrer la propriété suivante.

L’enveloppe orthogonale d’un cercle \mathcal C par rapport à un point F extérieur à ce cercle est une hyperbole dont les foyers sont F et le symétrique F' de F par rapport au centre C du cercle et dont \mathcal C est le cercle principal.

Voici le dessin qui illustre cette preuve que nous ne détaillerons pas.

hyperbole

Notez que, conformément à une remarque faite dans le billet mentionné plus haut, les asymptotes de l’hyperbole sont les droites joignant le centre du cercle \mathcal C aux points de contacts des tangentes au cercle issues de F.

De la même manière que plus haut à propos de l’ellipse, on peut vérifier la propriété optique des hyperboles, selon laquelle

En tout point d’une hyperbole, la tangente et la normale sont les bissectrices des angles formés par les droites qui joignent ce point aux foyers de l’hyperbole.

Observez que les rayons orthogonaux d’un cercle par rapport à un de ses points passent par le point diamétralement opposé, en lequel leur enveloppe dégénère.

__________
(*) On peut supposer que F\neq C car pour F=C, l’énoncé est évident, l’enveloppe cherchée étant le cercle lui-même.

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