Un petit exercice sur les polynômes

Soient p : x\mapsto x^n et q : x\mapsto x^n+\sum_{k=1}^na_kx^{n-k}, où n>0 et où les a_k sont des nombres réels. Montrer que si a_1>0, alors l'ensemble

p(\mathbb N)\cap q(\mathbb N)

est fini à moins qu’il n’existe un entier k>0 tel que

\forall x\in\mathbb R,\quad q(x)=(x+k)^n

P.S. J’ai modifié l’énoncé publié initialement, afin d’affaiblir une hypothèse. P.L. 09/05/2014
P.S. En affaiblissant l’hypothèse, j’ai introduit par inadvertance une faute. Je viens de la corriger. Désolé pour les lecteurs qui ont essayé de résoudre l’exercice erroné. P. L. 12/05/2014

5 réflexions sur “Un petit exercice sur les polynômes

  1. En fait, j’ai cherché assez longtemps sans arriver quelque part (sauf que le résultat est vrai si au moins un des coefficients de q est irrationnel). Je vais re-essayer plus tard.

    • J’espère ne pas m’être trompé, vu toutes les révisions de l’énoncé, mais je crois disposer d’une solution rigoureusement rédigée (au sens de la rigueur des mathématiciens de 2014, ;-)).

  2. Je vais présenter ma preuve, ce qui n’empêche pas que d’autres démonstrations puissent être postées ultérieurement.

    Je vais montrer que si a_1>0 et si le polynôme q n’est pas de la forme (X+k)^n pour un entier positif k, alors l’ensemble des couples d’entiers positifs ou nuls (x,y) tels que

    x^n=y^n+\sum_{i=1}^na_iy^{n-i}

    est fini. Dans la suite, ces couples seront appelés solutions.

    Nous supposons donc que a_1>0 et que le polynôme q n’est pas de la forme en question.
    Puisque

    \lim_{y\to+\infty}\frac{\sum_{i=1}^na_iy^{n-i}}{ny^{n-1}}=\frac{a_1}{n}>0

    il existe des nombres N,u>0 tels que

    y\geqslant N \Longrightarrow 0<\frac{\sum_{i=1}^na_iy^{n-i}}{ny^{n-1}}<u

    Cela noté, il y a au plus N solutions (x,y) pour lesquelles y<N.
    Considérons alors une solution (x,y) dans laquelle y\geqslant N. On a

    x-y=\frac{\sum_{i=1}^na_iy^{n-i}}{\sum_{i=0}^{n-1}x^iy^{n-1-i}}

    Il résulte en particulier de cette égalité que x>y car

    y>0 \quad \& \quad \sum_{i=1}^na_iy^{n-i}>0

    Mais alors, son membre de droite est majoré par

    \frac{\sum_{i=1}^na_iy^{n-i}}{ny^{n-1}}

    de sorte que 0<x-y<u. Ainsi, x=y+kk est un entier positif plus petit que u et p(y+k)=q(y). Vu l'hypothèse sur q, le polynôme p(X+k)-q(X) n'est pas nul et possède donc au plus n-1 zéros entiers positifs. Il résulte de ceci que l'ensemble des solutions (x,y) pour lesquelles y\geqslant N est fini, ce qui achève la démonstration.

  3. C’est une belle preuve. Concernant le dernier paragraphe, j’ai dû le relire et réfléchir plusieurs fois pour comprendre à quoi sert ce u.😉

    • Merci pour l’appréciation mais je suis désolé, j’aurais dû être plus explicite quant au rôle de u. Cela dit, l’idée de la preuve devient assez claire lorsqu’on regarde les graphes de p et q. Ils sont, asymptotiquement, parallèles. C’est très clair sur des exemples, comme p(X)=X^2 et q(X)=X^2+2X ou d’autres de degrés 3 et 4. Cela implique que la différence entre les composantes d’une solution est bornée et suggère dès lors une preuve. Un cas frappant est celui où u\leqslant 1. Dans ce cas, x et y ne peuvent être simultanément entiers.

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