Un exercice pour les vacances : à propos d’une inégalité

En faisant quelques calculs, je suis tombé sur la propriété suivante que je vous propose d’établir.

L’entier n est positif; les entiers k_0,\ldots,k_n sont positifs ou nuls et vérifient

\begin{cases}k_0+\cdots +k_n\leqslant n-1\\k_1+2k_2+\cdots+nk_n=n^2-n-i\end{cases}

pour un i\in\{0,\ldots,n\}. Dans ces conditions,

  • si i<n alors k_0=\cdots =k_{n-i-1}=0,
  • si i=0 alors k_n=n-1,
  • si i>0 et k_{n-i}\neq 0 alors

    k_{n-i}=1,\ k_{n-i+1}=\cdots = k_{n-1}=0,\  k_n=n-2

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