A propos d’une famille de triangles inscrits dans une ellipse II – Aspects analytiques

Je poursuis ici l’article précédent avec l’intention de décrire les triangles spéciaux de l’ellipse \mathcal E en coordonnées. Nous nous limiterons à des coordonnées du plan \alpha dans lesquelles l’ellipse admet l’équation canonique

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1=0

Etant donné un point A\in \mathcal E de coordonnées (u,v), la question est de déterminer celles des deux autres sommets du triangle spécial \Delta dont A est un sommet.

L’affinité \mathcal T:\alpha\to\alpha dont l’expression en coordonnées est

(x,y)\mapsto (\frac x a,\frac y b)

transforme l’ellipse \mathcal E en le cercle d’équation

x^2+y^2-1=0

et \Delta en le triangle équilatéral \Delta' inscrit dans ce cercle et dont A'=\mathcal T(A) est un sommet.

L’affixe de A' est le nombre complexe

z=\frac u a+i\frac v b

Celles des deux autres sommets de \Delta' sont alors jz et j^2z, où

j=-\frac 1 2+i\frac{\sqrt 3}{2}

En effet, dans \mathbb C, la multiplication par j est la rotation de centre 0 et d’angle 2\pi/3.

rot

Les coordonnées des deux autres sommets de \Delta' sont donc

\left(-\frac 1 2\frac u a-\frac{\sqrt 3} 2\frac v b,-\frac 1 2\frac v b+\frac{\sqrt 3} 2\frac u a\right) \quad \& \quad \left(-\frac 1 2\frac u a+\frac{\sqrt 3} 2\frac v b,-\frac 1 2\frac v b-\frac{\sqrt 3} 2\frac u a\right)

D’où celles des sommets de \Delta :

(u,v), \quad \left(-\frac 1 2 u-\frac{\sqrt 3} 2\frac{va} b,-\frac 1 2 v+\frac{\sqrt 3} 2\frac{ub} a\right), \quad \left(-\frac 1 2 u+\frac{\sqrt 3} 2\frac{va} b,-\frac 1 2 v-\frac{\sqrt 3} 2\frac{ub} a\right)

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