A propos d’une famille de triangles inscrits dans une ellipse

L’aire d’un triangle inscrit à une ellipse \mathcal E d’un plan affine euclidien \alpha est plus petite que la sienne, à savoir \pi ab, où a et b sont le demi-grand axe et le demi-petit axe de l’ellipse. L’ensemble des aires des triangles inscrits à \mathcal E admet donc une meilleure borne supérieure, \sigma(a,b). Nous allons la calculer et déterminer les triangles qui la réalisent.

Voici une première remarque qui sera bien utile à cet effet.

Si l’aire d’un triangle inscrit à une ellipse est maximale, alors la tangente à l’ellipse en chaque sommet du triangle est parallèle au côté opposé.

Cela résulte de la convexité de la surface délimitée par l’ellipse(*), comme illustré sur le dessin suivant.

convexite

On y voit un triangle ABC inscrit à une ellipse, la tangente à l’ellipse parallèle à BC et située du même côté de BC que A ainsi que le point de contact A' de cette tangente. Par convexité, les points de l’ellipse, autre que A', situés du même côté de BC que A sont strictement plus proches de BC que A'. Ainsi, si A\neq A', l’aire du triangle ABC est strictement plus petite que celle de A'BC, ce qui établit la propriété.

Pour nous simplifier la vie, nous dirons qu’un triangle spécial est un triangle inscrit à \mathcal E en chaque sommet duquel la tangente à l’ellipse est parallèle au côté opposé.

Remarquons que nous aurions identifiés les triangles réalisant \sigma(a,b) pour peu qu’il existe des triangles spéciaux et que nous sachions que leurs aires sont égales : il s’agirait alors simplement de ces triangles.

Observons que la droite qui joint un sommet d’un triangle spécial au milieu du côté opposé est un diamètre de l’ellipse. Elle passe donc par le centre de celle-ci.

Dès lors, les médianes d’un triangle spécial d’un cercle sont aussi ses hauteurs : il est donc équilatéral. Or, chaque point du cercle est un sommet d’un seul triangle équilatéral inscrit et tous ces triangles équilatéraux sont isométriques. En particulier, ce sont exactement eux qui réalisent le maximum de l’aire d’un triangle inscrit dans le cercle. On a donc

\sigma(a,a)=\frac{3\sqrt 3}{4}a^2

Une transformation affine du plan \alpha transforme toute ellipse en une ellipse et un triangle inscrit à une ellipse est spécial si, et seulement si, son image est un triangle spécial de l’ellipse image car une transformation affine conserve les tangentes et le parallélisme. Elle ne conserve en général pas les aires mais bien les quotients d’aires. En particulier, deux parties du plan dont les aires sont égales ont des images dont les aires le sont aussi.

Il existe toujours une transformation affine de \alpha qui transforme une ellipse donnée en un cercle donné. Par conséquent, chaque point de l’ellipse \mathcal E est un sommet d’un unique triangle spécial et les aires des triangles spéciaux de \mathcal E sont égales. Ce sont donc les triangles qui réalisent \sigma(a,b).

Pour calculer \sigma(a,b), nous allons mettre à profit le fait que les transformations affines conservent les quotients d’aires. Si \Delta est un triangle spécial de \mathcal E et \Delta' est le triangle image inscrit dans le cercle image, que nous noterons \mathcal C, nous avons donc

\mbox{aire}(\Delta)=\frac{\mbox{aire}(\mathcal E)}{\mbox{aire}(\mathcal C)}\ \mbox{aire}(\Delta')

Dans le cas d’un cercle \mathcal C de rayon 1, le quotient des aires de l’ellipse et du cercle vaut ab. Par conséquent,

\sigma(a,b)=\frac{3\sqrt 3}{4}ab

Il nous reste à identifier le triangle spécial dont un sommet A\in\mathcal E est donné.
Nous avons observé plus haut que le milieu M du côté opposé à A est situé sur le diamètre [A,A'], A'\in \mathcal E, de \mathcal E.

special

Pour un cercle, le rapport de section de M par rapport à [A,A'] vaut 3, c’est facile à voir. Les transformations affines conservent les rapports de sections. Par conséquent, pour une ellipse quelconque, M se trouve aussi au trois quart de [A,A'] compté à partir de A, ce qui en permet une construction aisée. La figure ci-dessus illustre la chose.

P.S. Les tangentes à une ellipse en les sommets d’un de ses triangles spéciaux se coupent deux à deux en les sommets d’un triangle dont les sommets du triangle spécial sont les milieux des côtés. L’ellipse est alors l’ellipse de Steiner du nouveau triangle. P.L. 25/09/2014

P.S. Les ellipses de Steiner des triangles spéciaux d’une ellipse sont égales. Elles ont le même centre que l’ellipse et en sont l’image par une homothétie de rapport 1/2 dont le centre est aussi celui de l’ellipse. P.L. 03/12/2015

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(*) D’ailleurs, la propriété reste vraie si on remplace l’ellipse par n’importe quelle courbe régulière délimitant une surface convexe.

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