Le théorème d’Al-Kashi au service d’une inégalité

Avec les notations de cette figure
al_kashi_1
le théorème d’Al-Kashi s’énonce a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha. L’aire du triangle ABC valant S=\frac 1 2 bc\sin\alpha, on peut le réécrire sous la forme

(1) (b+c)^2=a^2+4S\cot\frac{\alpha}{2}

Imposons à a=2\ell et S=\sigma d’être constants. Cette dernière formule montre alors que le périmètre du triangle ABC est d’autant plus petit que l’angle \alpha est grand car la fonction \cot est strictement décroissante dans ]0,\pi/2[. Dans les conditions imposées, le sommet A est situé sur une parallèle \mathcal D à BC, à une distance \sigma/\ell de cette droite. Si le cercle circonscrit au triangle n’est pas tangent à \mathcal D, on peut, sans changer B ni C, diminuer le périmètre du triangle en conservant son aire. Il suffit pour cela de déplacer A sur \mathcal D entre sa position initiale et l’autre intersection du cercle avec \mathcal D, ce qui a pour effet d’augmenter \alpha.

al_kashi_2

Il résulte de ce qui précède que, de tous les triangles d’aire \sigma auxquels on impose la longueur a=2\ell d’un côté, ce sont les triangles isocèles en le sommet opposé à ce côté qui ont le plus petit périmètre. Ils sont tous isométriques, la longueur des deux autres côtés étant

\frac{\sqrt{\ell^4+\sigma^2}}{\ell}

On a aussi, pour ces triangles,

\frac \alpha 2 = \arcsin\frac{\ell^2}{\sqrt{\ell^4+\sigma^2}}

😉

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