La formule de Héron au service d’une inégalité

La formule de Héron exprime l’aire S d’un triangle ABC au moyen des longueurs de ses côtés. Avec les notations de cette figure

al_kashi_1

elle s’écrit S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, où p est la moitié du périmètre du triangle.

Elle va nous permettre de trouver la meilleure borne supérieure de \varrho=\frac{S}{p^2}, qui est une sorte de « facteur de forme » pour les triangles.

A titre d’exemple, pour un rectangle dont les côtés mesurent u,v, l’analogue est le quotient \frac{uv}{(u+v)^2} pour lequel

\frac{uv}{(u+v)^2}\leqslant \frac 1 4

l’égalité ayant lieu si, et seulement si, le rectangle est un carré. En effet, u,v sont les racines du polynôme X^2-(u+v)X+uv dont le discriminant (u+v)^2-4uv est strictement positif si u\neq v et nul sinon(*).

Des nombres (réels) a,b,c sont les mesures des côtés d’un triangle si, et seulement si,

\begin{cases}a=\mu+\nu\\b=\nu+\lambda\\c=\lambda+\mu\end{cases}

\lambda,\mu,\nu sont strictement positifs. En effet, ces derniers ne sont autres que

\begin{cases}\lambda=\frac 1 2(-a+b+c)\\\mu=\frac 1 2(a-b+c)\\\nu=\frac 1 2(a+b-c)\end{cases}

Le facteur de forme \varrho s’exprime joliment avec ces nombres. En effet,

\varrho^2=\frac{\lambda\mu\nu}{(\lambda+\mu+\nu)^3}

Il résulte alors de l’inégalité entre moyennes géométrique et arithmétique pour trois nombres positifs que pour tout triangle,

\varrho\leqslant \frac{1}{3\sqrt 3}

l’égalité ayant lieu si, et seulement si le triangle est équilatéral.

😉

__________
(*) Du reste, (u+v)^2-4uv=(u-v)^2, …

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