A propos du facteur de forme des polygones

Nous dirons que le facteur de forme d’une figure plane est le rapport \varrho=S/p^2 de l’aire S de la figure au carré de la moitié p de son périmètre. Par exemple, le facteur de forme d’un disque est 1/\pi et celui d’un carré est 1/4. Plus généralement,

Le facteur de forme d’un polygone régulier à n côtés est \frac 1 n\cot \frac\pi n

En effet, un n-gone régulier est la réunion de n triangles isocèles tels que celui-ci

polyreg

C est le centre du cercle circonscrit au polygone, r son rayon, et les A deux sommets consécutifs du polygone. L’aire d’un tel triangle est \frac 1 2r^2\sin\frac{2\pi}{n} par conséquent le facteur de forme du polygone est

\frac{n\sin\frac\pi n\cos\frac\pi n}{n^2\sin^2\frac\pi n}=\frac 1 n\cot \frac\pi n

Mon intention est de calculer la meilleure borne supérieure \varrho_n de l’ensemble des facteurs de forme des polygones convexes à n-côtés. Il n’est pas complètement évident que ce nombre existe et je vais en donner deux vérifications. Une très élémentaire, l’autre nettement plus sophistiquée mais qui nous permettra par ailleurs de le déterminer.

Tout segment de droite réalisant la plus courte distance entre ses extrémités, il est clair que les longueurs des diagonales d’un polygone convexe sont inférieures à son périmètre 2p. Autrement dit, le polygone est inclus à un disque de rayon 2p, de sorte que son aire S est majorée par 4\pi p^2 et son facteur de forme par 4\pi. L’ensemble des facteurs de forme de tous les polygones convexes est donc borné, ce qui montre que \varrho_n est bien défini.

Cela étant, un des avantages du facteur de forme est d’être invariant par similitude car une similitude multiplie les longueurs par la valeur absolue de son rapport et les aires par son carré. En particulier, pour calculer les facteurs de forme, on peut se limiter à des figures dont le périmètre est imposé. En conséquence, le calcul de \varrho_n consiste à déterminer l’aire maximale d’un polygone à n côtés et de périmètre imposé. Nous sommes ainsi ramenés au problème classique de l’inégalité isopérimétrique pour les n-gones. La solution est connue, ce sont les polygones réguliers qui pour un périmètre et un nombre de côtés imposés réalisent l’aire maximale. En d’autres termes

\varrho_n=\frac 1 n\cot \frac\pi n

Le problème de l’inégalité isopérimétrique pour les convexes compacts plans est également résolu. Ce sont les disques qui réalisent la plus grande aire à périmètre donné. En particulier,

\varrho_n<\frac 1\pi

Il est amusant, mais sans doute pas étonnant, de constater que

\lim_{n\to+\infty}\varrho_n=\frac 1\pi

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