Pourquoi racine carrée de deux est-il irrationnel?

Le titre de ce billet pose une question bateau et j’ai presque la nausée lorsque je tombe sur la réponse classique qu’on lui donne tant je l’ai lue et entendue. J’imagine que vous voyez à quoi je fais allusion. De toute façon, je ne la reproduis pas ici.

En ce qui me concerne, je lui préfère celle-ci : il ne peut y avoir d’entiers positifs p, q tels que p^2=2q^2 parce que tous les nombres premiers apparaissant dans la décomposition en facteurs premiers d’un carré parfait y figurent avec un exposant pair et ce ne serait pas le cas de 2 dans la décomposition de p^2 si cette équation avait une solution entière non triviale. Il parait que cette preuve est loin d’être une banale observation car elle repose sur le théorème fondamental de l’arithmétique. C’est du moins ce que l’on m’objecte le plus souvent lorsque j’en fait part.

Mais peu importe. Ce dont je veux vous entretenir dans cet article, c’est d’une preuve du caractère irrationnel de \sqrt 2 que j’ai apprise récemment lors d’un remarquable exposé de vulgarisation sur la conjecture de Catalan. L’orateur l’y a présentée en la déguisant agréablement pour le plus grand plaisir des lycéens qui constituaient l’essentiel de l’auditoire en utilisant la définition du format de papier A. Je ne vais pas me risquer à vous décrire sa belle mise en scène et j’irai droit « aux formules ».

Ce qui m’a particulièrement séduit dans cette solution, c’est qu’elle repose sur la méthode de descente infinie (page qui adapte la preuve qui « me donne la nausée » pour illustrer cette méthode … ). En cherchant un peu, j’en ai retrouvé une version ici, en compagnie d’autres preuves, où on précise qu’elle est due à Martin Gardner. La voici. Si p, q sont des entiers positifs tels que

\sqrt 2=\frac p q

alors

\sqrt 2 =\frac{2q-p}{p-q}

Or, comme on le vérifie facilement, 0<2q-p<p et 0<p-q<q. La transformation (p,q)\mapsto (2q-p,p-q) a remplacé la fraction p/q par une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont plus petits mais toujours entiers et positifs. La contradiction vient du fait qu’on peut donc appliquer cette transformation autant de fois que l’on veut alors qu’on ne peut diminuer indéfiniment le numérateur et le dénominateur tout en conservant des nombres entiers positifs.

La racine carrée d’un entier positif \alpha qui n’est pas un carré parfait est également irrationnelle. En effet, un tel nombre possède un facteur premier qui apparait à une puissance impaire dans sa décomposition en facteurs premiers et on peut alors raisonner comme on l’a fait plus haut à propos de \sqrt 2 pour montrer que l’équation p^2=\alpha q^2 n’a pas de solutions entières non triviales.

De retour de la conférence sur la conjecture de Catalan, je me suis demandé s’il y a une preuve à la Martin Gardner de l’irrationalité de \sqrt\alpha. J’en ai trouvé une que je vais présenter.

Nous supposons que p,q sont des entiers positifs tels que \sqrt\alpha=\frac p q. On a alors

\sqrt\alpha=\frac{\alpha q-\lfloor\sqrt\alpha\rfloor p}{p-\lfloor\sqrt\alpha\rfloor q}

Le dénominateur de cette fraction est strictement positif. En effet, comme \alpha n’est pas un carré parfait,

p=\sqrt\alpha q>\lfloor\sqrt\alpha\rfloor q

Ce dénominateur est également strictement plus petit que q car

p=\sqrt\alpha q<\left(\lfloor\sqrt\alpha\rfloor +1\right)q

Quant au numérateur de la fraction, il est forcément positif vu ce qui précède. De plus, il est strictement plus petit que p car

\alpha q=\sqrt\alpha p<\left(\lfloor\sqrt\alpha\rfloor +1\right)p

Ainsi, l’application

(p,q)\mapsto (\alpha q-\lfloor\sqrt\alpha\rfloor p,p-\lfloor\sqrt\alpha\rfloor q)

remplace la fraction p/q par une fraction dont les numérateur et dénominateur sont strictement plus petits que les siens tout en restant entiers et positifs. D’où une contradiction, comme plus haut avec \sqrt 2.

😉

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2 réactions sur “Pourquoi racine carrée de deux est-il irrationnel?

  1. J’ai l’impression que la démonstration de Martin Gardner n’est qu’une version déguisée de la démonstration géométrique bien connue de la non-commensurabilité du côté du carré et de sa diagonale…Autrement dit, un avatar du fait que le développement en fraction continue de \sqrt{2} est infini. Non ?

    • Merci d’attirer l’attention sur ce point. Je ne connaissais la démonstration géométrique en question mais je viens d’en trouver une version en googlant un peu. Et de fait, on y trouve l’analogue du passage de p,q à p-q,2q-p et l’argument de descente infinie.

      Cela étant, je n’ai pas lu le texte de Martin Gardner cité dans la bibliographie de l’article de Wikipedia et j’ai peu-être conclu trop vite que la méthode était de lui. D’ailleurs, il ne s’y attribue sans doute pas la découverte de celle-ci.

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