A propos d’une famille de triangles inscrits dans une ellipse III – Une construction

Pour rappel, de tous les triangles inscrits à une ellipse, ce sont les triangles spéciaux dont l’aire est la plus grande. Ils sont caractérisés par le fait que la tangente à l’ellipse en chaque sommet est parallèle au côté opposé à ce sommet. Chaque point de l’ellipse est un sommet d’un unique triangle spécial. C’est en transformant l’ellipse en un cercle par une affinité qu’on s’est convaincu facilement de ces faits et qu’on a calculé l’aire des triangles spéciaux. La même méthode nous donne tout aussi aisément les polygones (convexes, je n’y reviendrai plus) à n côtés inscrits dans une ellipse dont l’aire est la plus grande. Nous les appellerons n-gones spéciaux de l’ellipse. Ils sont caractérisés par le fait que la tangente à l’ellipse en chaque sommet est parallèle à la corde délimitée par les deux sommets adjacents. Chaque point de l’ellipse est également un sommet d’un unique n-gone spécial et l’aire commune à tous ces n-gones est

\frac n 2\sin\frac{2\pi}{n}\ ab

a et b sont les demi-axes de l’ellipse. Pour un quadrilatère, être spécial équivaut au fait que les diagonales sont des diamètres conjugués de l’ellipse auquel cas son aire vaut 2ab. Ceci est la réponse à cet exercice.

L’affinité transformant une ellipse en un cercle utilisée pour identifier les n-gones spéciaux est quelconque mais il peut être intéressant de la spécialiser afin de faire certains calculs, comme ici, ou de construire de tels polygones, comme je vais l’expliquer maintenant.

Toute affinité transforme une ellipse en une ellipse et les polygones spéciaux de la première en ceux de la seconde. De plus, les polygones spéciaux d’un cercle sont les polygones réguliers inscrit à ce cercle. La construction des polygones spéciaux présente donc la même difficulté que celle des polygones réguliers. Ceux-ci sont relativement rares à pouvoir être construits à la règle et au compas mais on dispose de nos jours de logiciels de géométrie dynamique qui possèdent des primitives permettant de tracer d’excellentes approximations de polygones réguliers. Avec ce que je vais montrer plus bas, on pourra alors tracer sans difficulté de beaux polygones spéciaux avec de tels logiciels.

Le dessin ci-dessous nous montre une ellipse et deux cercles concentriques. Un des deux admet le grand axe de l’ellipse pour diamètre et s’appelle le cercle principal de l’ellipse. Le petit axe de l’ellipse est un diamètre du second dont j’ignore s’il a un nom particulier.

ellipse_1

Le dessin montre aussi, de façon très parlante, comment construire autant de points que l’on veut de l’ellipse à partir de points du cercle principal. C’est d’ailleurs comme cela que j’ai dessiné l’image. Je suis parti de deux cercles concentriques et d’un diamètre du plus grand, j’ai construit un point de l’ellipse comme suggéré par le dessin, puis j’ai demandé au logiciel de tracer le lieu de ce point (assez logiquement, le tracer d’un lieu est une primitive des logiciels de géométrie dynamique — du moins de ceux que je connais).

Incidemment, l’angle t montré sur la figure est celui qui donne la paramétrisation classique

\begin{cases}x=a\cos t\\y=b\sin t\end{cases}

d’une l’ellipse. Il porte un nom, en astronomie : anomalie excentrique

Le passage d’un point du cercle principal à son image sur l’ellipse est le fait d’une affinité \mathcal T. Par conséquent, la construction en question des points de l’ellipse à partir de ceux du cercle principal transforme les polygones réguliers du cercle en les polygones spéciaux de l’ellipse. Le dessin suivant illustre cela dans le cas d’un triangle équilatéral.

ellipse_2

Il est amusant de noter que pour construire des polygones spéciaux, il n’est pas nécessaire de disposer de l’ellipse. Il suffit de disposer d’un polygone régulier inscrit dans le cercle principal puis de construire les images de ses sommets ce qui ne nécessite pas de connaitre d’autre point de l’ellipse.

Pour être complet, voyons à quoi ressemble l’affinité \mathcal T. Dans un repère orthonormé où l’ellipse admet l’équation

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

le cercle principal est le cercle d’équation

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}=1

et l’expression de l’affinité en coordonnées est l’application

(x,y)\mapsto (x,\frac b a y)

Remarquons que les polygones spéciaux sont affines réguliers car ils sont des images affines de polygones réguliers. La réciproque est vraie : tout polygone affine régulier convexe est un polygone spécial pour une des ellipses dans laquelle il est inscrit et cela parce qu’un polygone affine régulier est lui aussi image affine d’un polygone régulier : l’image du cercle auquel est inscrit ce polygone régulier est une ellipse par rapport à laquelle le polygone affine régulier est spécial.

Lorsque n>4, un n-gone affine régulier est inscrit dans une seule ellipse, par rapport à laquelle il est forcément spécial. Les triangles et les parallélogrammes sont inscrits à une infinité d’ellipses mais ne sont spéciaux que pour une seule d’entre elles.

Pour un triangle, elle est connue : c’est l’ellipse de Steiner du triangle dont les milieux des côtés sont les sommets du triangle de départ, triangle qu’on obtient en menant par chaque sommet de ce dernier une parallèle au côté opposé.

Pour un parallélogramme, la construction est analogue : par chaque sommet, on mène une parallèle à la diagonale à laquelle il n’appartient pas. Les quatre parallèles se coupent en les sommets d’un parallélogramme dont les milieux des côtés sont les sommets du parallélogramme de départ. Ce dernier est spécial par rapport à l’ellipse qui est tangente en les milieux des côtés du parallélogramme ainsi construit.

😉

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