Un joyau : les théorèmes de Ceva et de Menelaus, l’ellipse de Steiner et les permutations se rencontrent chez une modeste équation

Voici la modeste équation dont il est question dans le titre de ce billet :

(1) x+\frac 1 y=y+\frac 1 z=z+\frac 1 x

Les inconnues x,y,z sont à valeurs réelles et non nulles.

Je suis tombé sur cette équation(*) par hasard. Elle figure dans l’énoncé d’un problème posé dans le numéro 26 de la revue Losanges. Il n’est pas nécessaire de la résoudre pour résoudre le problème posé(**), où elle était d’ailleurs présentée comme une condition davantage que comme une équation. Cependant, vu sa forme intrigante, j’ai cherché toutes ses solutions et ce sur quoi je suis tombé m’a ébahi et fort amusé! Aussi, je tenais à faire part de mes trouvailles dans ce blog(***).

Résolution de l’équation

Soit une solution (x,y,z) de (1). Nous avons alors

\begin{cases}x-y=\frac{y-z}{yz}\\[1ex]y-z=\frac{z-x}{zx}\\[1ex]z-x=\frac{x-y}{xy}\end{cases}

et donc

\begin{cases}(x-y)=(x-y)/x^2y^2z^2\\[1ex](y-z)=(y-z)/x^2y^2z^2\\[1ex](z-x)=(z-x)/x^2y^2z^2\end{cases}

Ainsi, x=y=z ou (xyz)^2=1. La première possibilité nous donne une première famille de solutions : les multiples non nuls de (1,1,1). On passe des solutions situées sur la surface d’équation xyz=1 à celles situées sur la surface d’équation xyz=-1 par l’application (x,y,z)\mapsto (-x,-y,-z). Il ne nous reste donc plus qu’à trouver les premières pour avoir résolu l’équation.

Nous supposons désormais que (x,y,z) est une solution telle que xyz=1. Avant de poursuivre, et pour faciliter les explications, posons

a=x+\frac 1 y, b=y+\frac 1 z, c=z+\frac 1 x

Cela étant, reportons la valeur

y=\frac{1}{xz}

dans l’équation a=c. Cela donne

(x-1)\left(z+\frac{1+x}{x}\right)=0

En annulant le facteur de droite, nous obtenons

(x,y,z)=\left(x,-\frac{1}{1+x},-\frac{1+x}{x}\right)

Avec ces valeurs, a=b=c=-1. Il s’agit donc bien de solutions. Un petit calcul montre facilement que l’annulation du facteur de gauche donne deux solutions mais dont nous disposons déjà.

En résumé, les solutions de l’équation (1) se répartissent dans les trois sous-ensembles suivants de \mathbb R^3.

\Delta=\{(x,x,x)|x\in\mathbb R\setminus\{0\}\}

\Gamma=\left\{\left(x,-\frac{1}{1+x},-\frac{1+x}{x}\right)| x\in\mathbb R\setminus\{-1,0\}\right\}

-\Gamma=\left\{\left(x,\frac{1}{1-x},-\frac{1-x}{x}\right)| x\in\mathbb R\setminus\{0,1\}\right\}

(Le troisième est le symétrique du second par rapport à l’origine.) Ces ensembles sont représentés sur l’image ci-dessous, le premier en vert, le second en rouge et le dernier en bleu(****).

ceva!

Le second est situé sur la surface d’équation xyz=1, dont voici une représentation.

ceva!_2

Où il est question du théorème de Ceva

La courbe \Gamma n’est autre que celle notée \mathcal P (pour parallèle) dans ce billet, où nous avions désigné par \mathcal C (pour Ceva) la surface d’équation xyz=1.

parallele

Il s’avère en effet que, pour tout triangle ABC, les coordonnées des éléments de \Gamma sont les rapports de section des pieds de céviennes parallèles du triangle. Plus précisément, avec les notations de la figure ci-dessus(*****), on pose

x=\sigma_{C,B}(A'), y=\sigma_{A,C}(B'), z=\sigma_{B,A}(C')

et (x,y,z)\in\Gamma si, et seulement si, les droites AA',BB',CC' sont parallèles.

Où il est question du théorème de Menelaus et de l’ellipse de Steiner

Des points dont les rapports de section par rapport à un segment sont opposés sont conjugués harmoniques l’un de l’autre par rapport à ce segment. Par conséquent lorsqu’on passe de \Gamma à -\Gamma au moyen de l’application (x,y,z)\mapsto (-x,-y,-z), on remplace les pieds de céviennes parallèles du triangle ABC par leurs conjugués harmoniques par rapport au côté auquel ils appartiennent. D’après le théorème de Menalaus, le produit des rapports de section de ces conjugués valant -1, ceux-ci sont alignés. Nous avons rencontré les droites obtenues de la sorte dans cet article. Ce sont les tangentes à l’ellipse de Steiner du triangle ABC. Nous avons ainsi l’interprétation de l’ensemble -\Gamma de solutions de (1) : il contient (x,y,z) si, et seulement si, x,y,z sont les rapports de sections, par rapport au côté auquel elles appartiennent, des intersections d’une tangente à l’ellipse de Steiner avec les côtés du triangle.

Où il est question du groupe de permutations \mathfrak S_3

L’application

\gamma:x\in\mathbb R\setminus\{-1,0\}\mapsto (x,-\frac{1}{1+x},-\frac{1+x}{x})\in\Gamma

est un paramétrage de \Gamma. L’invariance de \Gamma sous l’action de certaines transformations va nous donner des relations fonctionnelles vérifiées par les composantes \gamma_k de \gamma.

L’ensemble \Gamma est par stabilisé par la permutation circulaire (x,y,z)\mapsto (y,z,x). Cette application préserve en effet la surface \mathcal C et l’ensemble des solutions de (1) et fixe la solution triviale (1,1,1), l’unique point de \Delta appartenant à \mathcal C, c’est évident. Une autre façon de voir les choses provient de l’interprétation de \Gamma dans le contexte du théorème de Ceva : remplacer le triangle ABC par le triangle BCA remplace les rapports de sections x,y,z par y,z,x.

Puisque, pour tout x\in\mathbb R\setminus\{-1,0\}, (\gamma_2(x),\gamma_3(x),x)\in\Gamma, nous avons \gamma_2\circ \gamma_2=\gamma_3 et \gamma_3\circ \gamma_2=\mathrm{id}. En particulier \gamma_2 et \gamma_3 sont des applications réciproques l’une de l’autre et \gamma_2\circ \gamma_2\circ \gamma_2= \gamma_3\circ \gamma_3\circ \gamma_3=\mathrm{id}.

Une symétrie supplémentaire de \Gamma va nous donner d’avantage de propriétés des \gamma_k. Il s’agit de la transformation

(x,y,z)\mapsto (\frac 1 x,\frac 1 z,\frac 1 y)

L’interprétation de \Gamma dans le contexte du théorème de Ceva montre de façon merveilleusement simple qu’il est stabilisé par cette transformation. En effet, remplacer le triangle ABC par le triangle ACB, c’est-à-dire changer l’orientation du triangle, remplace les rapports de sections x,y,z par 1/x,1/z,1/y car, de façon générale, si P,Q,X sont alignés,

\sigma_{Q,P}(X)=\frac{1}{\sigma_{P,Q}(X)}

Voici les conséquences de cette invariance :

(2) \forall x\in\mathbb R\setminus\{-1,0\}, \quad \frac{1}{\gamma_2(x)}=\gamma_3(\frac 1 x) \quad \& \quad \frac{1}{\gamma_3(x)}=\gamma_2(\frac 1 x)

En fait, les six fonctions (de \mathbb R\setminus\{-1,0\} dans lui-même) \gamma_1=\mathrm{id}, \gamma_2, \gamma_3 et

x \mapsto \frac{1}{\gamma_2(x)}=-(1+x), \quad x\mapsto \frac{1}{\gamma_3(x)}=-\frac{x}{1+x}, \quad x \mapsto \frac 1 x

forment un groupe pour la composition des applications et ce groupe est isomorphe à \mathfrak{S}_3.

La géométrie va nous donner une jolie vérification de cette propriété sans doute bien connue et c’est encore de rapports de section dont il va être question. On sait en effet que les six rapports de section que l’on peut former avec trois points alignés sont des fonctions de l’un d’eux. Ces fonctions ne sont autres que nos six applications! Ceci est explicité dans les deux premières colonnes du tableau suivant

\begin{array}{c|c|c}XYZ&\sigma_{X,Y}(Z)&\mathrm{relation}\\\hline PQR&x&e=u^3=v^2\\[1ex] RPQ&-\frac{1}{1+x}&u\\[1ex]QRP&-\frac{1+x}{x}&u^2\\[1ex]QPR&\frac 1 x&v\\[1ex]RQP&-\frac{x}{1+x}&uv\\[1ex]PRQ&-(1+x)&u^2v\end{array}

Dans la troisième colonne, j’ai indiqué les expressions des permutations de PQR à l’aide de deux générateurs (et du neutre noté e) de \mathfrak{S}_3 : u, une permutation circulaire, et v, une transposition. En terme de ces générateurs, (2) s’écrit vu^2=uv, vu=u^2v. Ces deux relations sont équivalentes car v^2=e grâce à quoi, en multipliant les deux membres de l’une d’elles à droite et à gauche par v, on obtient l’autre. Nous obtenons ainsi une présentation de \mathfrak{S}_3 :

\langle u,v|u^3,v^2,v^{-1}u^{-1}vu^2\rangle

Avec celle-ci, on voit immédiatement que le seul caractère non trivial de \mathfrak S_3 est la signature.

😉

__________
(*) Il y a deux signes d’égalité et je devrais plutôt parler de système d’équations. Cependant je continuerai à parler de l’équation plutôt que du système, par commodité.
(**) Il s’agit de trouver les valeurs prises par xyz lorsque x,y,z vérifient cette condition. Comme x=y=z=uu n’est pas nul conviennent, on voit tout de suite que l’ensemble des valeurs prises par xyz est l’ensemble des nombres réels non nuls.
(***) Il est possible que ce qui va suivre soit bien connu mais je l’ignore. J’ai interrogé le responsable de la rubrique Problèmes de la revue Losanges pour qu’il me précise dans quel contexte il a trouvé cet énoncé. Naturellement, si sa réponse est éclairante, j’en ferai part ici.
(****) En fait, les équations a=b et b=c sont des équations cartésiennes pour les solutions de (1). Celle-ci forment donc une jolie variété plongée dans \mathbb R^3, de dimension un. Elle possède huit composantes connexes qui sont autant d’arcs réguliers de courbes dont les descriptions explicites des ensembles fournissent des paramétrages.
(*****) Si X, P,Q sont alignés, le rapport de section \sigma_{P,Q}(X) de X par rapport à [P,Q] est défini par la relation \overrightarrow{PX}=\sigma_{P,Q}(X)\overrightarrow{XQ}.

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2 réflexions sur “Un joyau : les théorèmes de Ceva et de Menelaus, l’ellipse de Steiner et les permutations se rencontrent chez une modeste équation

  1. Pingback: Une remarque à propos de l’ellipse de Steiner d’un triangle | Blog de Pierre Lecomte

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