Un joyau : les théorèmes de Ceva et de Menelaus, l’ellipse de Steiner et les permutations se rencontrent chez une modeste équation II

Comme annoncé dans un commentaire au billet précédent, je vais donner une autre méthode de résolution de l’équation

x+\frac 1 y=y+\frac 1 z=z+\frac 1 x

Elle est inspirée par les fractions continues, auxquelles j’aurais sans doute du penser plus rapidement, et résout une équation plus générale, en l’occurrence

x_1+\frac{1}{x_2}=x_{2}+\frac{1}{x_3}=\cdots=x_{n-1}+\frac1x_n=x_n+\frac{1}{x_1}

où les inconnues sont à valeurs réelles (et non nulles).

L’idée est d’exprimer les solutions à l’aide de x=x_1 et de la valeur commune \lambda des membres de ces égalités. Sauf peut-être dans des exemples donnés plus bas, je considère que x et \lambda sont des variables. On a

x_2=\frac{1}{\lambda-x}, \quad x_3=\frac{1}{\lambda-\frac{1}{\lambda-x}}, \ldots, \quad

Notons \xi la fonction

x\mapsto \frac{1}{\lambda-x}

de sorte que(*), pour k=1,\ldots,n,

x_k=\xi^{\circ(k-1)}(x)

et

(1) x=\xi^{\circ n}(x)

Il est clair qu’il existe des polynômes a_k,b_k,c_k,d_k \in\mathbf Z[\lambda] tels que

\xi^{\circ k}(x)=\frac{a_kx+b_k}{c_kx+d_k}

Naturellement,

\begin{cases}(a_0,b_0,c_0,d_0)=(1,0,0,1)\\(a_1,b_1,c_1,d_1)=(0,1,-1,\lambda)\end{cases}

et, en appliquant \xi au membre de droite de la relation précédente, on vérifie aisément que l’on peut prendre

\begin{cases}a_{k+1}=c_k\\b_{k+1}=d_k\\c_{k+1}=\lambda c_k-a_k\\d_{k+1}=\lambda d_k-b_k\end{cases}

En particulier, les suites c,d sont solutions de l’équation de récurrence

u_{k+2}-\lambda u_{k+1}+u_k=0

L’équation en x (1) s’écrit c_n x^2+(d_n-a_n)x-b_n=0. Compte tenu des relations de récurrences qu’on vient d’obtenir, elle se transforme en

c_n (x^2-\lambda x+1)+(d_n+c_{n+1})x-(d_{n-1}+c_n)=0

Mais il se fait que, pour n>0, d_{n-1}+c_n est nul — c’est facile à voir par récurrence — de sorte que, finalement,

c_n (x^2-\lambda x+1)=0

Les zéros de x^2-\lambda x+1 sont les points fixes de \xi. Ils engendrent les solutions triviales (u,u,\ldots,u) de l’équation, où la seule contrainte sur u est qu’il ne soit pas nul. En effet, si c’est le cas, alors u annule x^2-\lambda x+1

\lambda = u+\frac 1 u

Les valeurs réelles de \lambda qui annulent c_n donnent chacune une famille de solutions dont les composantes sont des fonctions homographiques de la première, x:

(2) \left(x,\frac{p_1x+q_1}{r_1x+s_1}, \cdots, \frac{p_{n-1}x+q_{n-1}}{r_{n-1}x+s_1{n-1}}\right)

En fait,

\begin{pmatrix}p_k&q_k\\r_k&s_k\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\-1&\lambda\end{pmatrix}^k

Les relations de récurrences obtenues plus haut ne disent pas autre chose.

Les zéros des dénominateurs r_kx+s_k délimitent des intervalles de \mathbb R dans chacun desquels (2) décrit un arc de courbe de \mathbb R^n. On retrouve ainsi dans le cas général ce qu’on avait observé pour n=3 au billet précédent, à savoir que l’ensemble des solutions de l’équation est une union d’arcs de courbes de \mathbb R^n. Par une méthode semblable à celle utilisée pour n=3, on vérifierait sans peine que les arcs de courbes formés de solutions non triviales sont situés sur les hypersurfaces d’équations x_1\cdots x_n=\pm 1.

Voici les premiers polynômes c_n.

\begin{array}{l|c}n&c_n\\\hline 2&-\lambda\\[1ex]3&(1-\lambda)(1+\lambda)\\[1ex]4&\lambda(2-\lambda^2)\\[1ex]5&-(\lambda^2+\lambda-1)(\lambda^2-\lambda-1)\\[1ex]6&-\lambda(\lambda-1)(\lambda+1)(\lambda^2-3)\end{array}

Les zéros \pm 1 de c_3 rendent les familles de solutions \Gamma et -\Gamma trouvées au billet précédent. Les zéros de c_5 sont les nombres

\frac 1 2 (\pm 1\pm \sqrt 5)

parmi lesquels on trouve le nombre d’or et son conjugué.

De façon générale, c_n est de degré n-1. Lorsque n est pair, il est divisible par \lambda et son quotient par ce dernier est un polynôme pair. Lorsque n est impair, c_n est pair. Tout cela se démontre facilement par récurrence sur n.

Je suis également persuadé que les zéros de c_n sont tous réels et simples mais je ne sais pas encore le prouver.
Je pense que je consacrerai un billet aux propriétés de ces polynômes, mais j’ai besoin d’un peu de temps pour les étudier.

😉

P.S. Les propriétés de parité de c_n sont faciles à comprendre. Voici l’explication du fait que si \lambda\neq 0 est un de ses zéros, alors -\lambda en est aussi un. Notons plus précisément \xi_\lambda la fonction que nous notions \xi plus haut. Alors

\xi_{-\lambda}=\gamma\circ\xi_\lambda\circ\gamma^{-1}

\gamma : x\mapsto -x. En particulier, si \xi_\lambda^{\circ n}=\mathrm{id} alors \xi_{-\lambda}^{\circ n}=\mathrm{id}. P.L. 12/11/2014
__________
(*) Par convention,

\xi^{\circ p}=\underbrace{\xi\circ \cdots \circ \xi}_p

Une réflexion sur “Un joyau : les théorèmes de Ceva et de Menelaus, l’ellipse de Steiner et les permutations se rencontrent chez une modeste équation II

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