Un joyau : les théorèmes de Ceva et de Menelaus, l’ellipse de Steiner et les permutations se rencontrent chez une modeste équation III

Le billet précédent a mis en évidence une famille de polynômes à l’aide desquels on trouve les solutions (x_1,\ldots,x_n) non triviales des équations

x_1+\frac{1}{x_2}=x_2+\frac{1}{x_3}=\cdots=x_{n-1}+\frac{1}{x_n}=x_n+\frac{1}{x_1}

c’est-à-dire celles dont deux composantes au moins sont distinctes. Dans les notations du billet en question, que j’utiliserai librement ici, il s’agit des polynômes c_k. Je vais en donner quelques propriétés, parmi lesquelles le fait qu’ils sont hyperboliques — c’est à dire dont tous les zéros sont réels — et plus précisément que leurs zéros sont tous réels et simples.

Une formule pour c_k

D’après le billet précédent, la suite c est la solution de l’équation

u_{k+2}-\lambda u_{k+1}+u_k=0, \quad u_0=0, u_1=-1

Les zéros du polynôme caractéristique de cette équation sont (\lambda\pm\mu)/2, où \mu est une racine carrée de \lambda^2-4.
Le polynôme c_k est donc(*) de la forme

c_k=m\left(\frac{\lambda-\mu}{2}\right)^k+n\left(\frac{\lambda+\mu}{2}\right)^k

où les coefficients m,n se calculent en imposant les conditions initiales. On trouve m=-n=1/\mu et, après un peu de calcul,

c_k=-2^{1-k}\sum_{0<2r+1\leqslant k}{k\choose 2r+1}\lambda^{k-2r-1}(\lambda^2-4)^r

Il s’agit d’un polynôme de degré k-1. Le coefficient du terme de ce degré est

-2^{1-k}\sum_{0<2r+1\leqslant k}{k\choose 2r+1}=-1

(C’est important pour la suite — et démontrer cette égalité est un exercice facile et amusant.) De plus, lorsque k est impair, c_k est un polynôme pair tandis que lorsque k est pair, c_k est divisible par \lambda et c_k/\lambda est un polynôme pair. Cette propriété de divisibilité est un cas très particulier d’une jolie propriété de la suite c dont nous allons à présent nous occuper.

Une propriété remarquable de la suite c

Avant de formuler cette propriété, nous allons faire quelques observations. Elles nous aiderons à la prouver mais sont également intéressantes en elles-mêmes.

Les polynômes a_k,b_k, d_k s’expriment tous à l’aide des c_k. On a en effet d_k=-c_{k+1}, b_k=d_{k-1}=-c_k, a_k=c_{k-1}. Par conséquent,

(1) \begin{pmatrix}0&1\\-1&\lambda\end{pmatrix}^k=\begin{pmatrix}c_{k-1}&-c_k\\c_k&-c_{k+1}\end{pmatrix}

comme il résulte aisément de la relation de récurrence liant les suites a,b,c,d donnée dans le billet précédent. Posons, pour simplifier les notations,

M=\begin{pmatrix}0&1\\-1&\lambda\end{pmatrix}

Le déterminant de M vaut 1. En prenant le déterminant des deux membres de la relation (1), il vient donc

c_k^2-c_{k-1}c_{k+1}=1

Ceci nous montre en particulier que deux éléments consécutifs de la suite c sont premiers entre eux. Le fait que \det M=1 va nous permettre aussi de prolonger la suite c à \mathbb Z, en définissant les c_k, k<0, par la relation (1). Cela revient à poser c_{-k}=-c_k comme on le voit en calculant l’inverse du membre de droite de (1).

En identifiant les éléments de la deuxième ligne et de la première colonne des deux membres de l’égalité M^{k+l}=M^kM^l, on obtient une sorte de formule d’addition, à savoir

c_{k+l}=c_kc_{l-1}-c_{k+1}c_l

Avec k=sl, elle donne

c_{(s+1)l}=c_{sl}c_{l-1}-c_{sl+1}c_l

Grâce à cela, il est immédiat de vérifier, par récurrence sur s, que c_l divise c_{sl}. Autrement dit, si l divise k alors c_l divise c_k.

Mais il y a mieux. En effet,

Pour tous entiers k,l, d(c_k,c_l)=c_{d(k,l)}

Dans cet énoncé, d désigne le plus grand commun diviseur, de nombres entiers ou de polynômes. Le plus grand commun diviseur de polynômes n’est défini qu’à un multiple non nul près. Pour que la propriété soit vraie, il nous faut lever cette indétermination en imposant que le coefficient de son terme de plus haut degré soit -1.

Cela étant, puisque d(k,l) divise k et l, c_{d(k,l)} divise c_k et c_l. Il divise donc aussi leur plus grand commun diviseur. Réciproquement,

d(k,l)=sk+tl

pour des entiers s,t bien choisis. D’où,

c_{d(k,l)}=c_{sk}c_{tl-1}-c_{sk+1}c_{tl}

est un multiple de d(c_k,c_l) puisque ce dernier divise c_{sk} et c_{tl}.
La propriété est donc établie.

Les zéros de c_k

D’après le billet précédent, les zéros de c_k sont les valeurs de \lambda pour lesquelles \xi^{\circ k} est l’identité. Or pour qu’une homographie x\mapsto \frac{\alpha x+\beta}{\gamma x+\delta} soit l’identité, il est nécessaire et suffisant que \alpha=\delta et \beta=\gamma=0. Les racines de c_k sont donc les valeurs de \lambda pour lesquelles il existe un nombre \sigma tel que(**)

(2) M^k=\sigma I_2

En prenant les déterminants des deux membres de cette relation, on obtient \sigma^2=1 de sorte que \sigma =\pm 1. Nous allons voir qu’avec ces informations, nous pouvons déterminer tous les zéros de c_k. En particulier, nous constaterons qu’ils sont tous réels et simples.

Soit donc un zéro de c_k que, par commodité, nous noterons \lambda bien que jusqu’à présent ce dernier avait statut d’indéterminée.

Vérifions, par l’absurde, que |\lambda|\neq 2. En fait, si \lambda vaut 2, alors

M^k=kM+(1-k)I_2

tandis que s’il vaut -2, alors

M^k=(-1)^{k-1}\left(kM+(k-1)I_2\right)

Dans les deux cas, (2) implique que M soit un multiple de I_2, ce qu’il n’est pas.

Puisque |\lambda|\neq 2, les valeurs propres de M, à savoir les nombres (\lambda\pm\mu)/2 dont il a été question plus haut, sont simples. La matrice M est donc diagonalisable et (2) équivaut alors à

\left(\frac{\lambda-\mu}{2}\right)^k=\sigma \quad \& \quad \left(\frac{\lambda+\mu}{2}\right)^k=\sigma

Supposons d’abord que \sigma=1. Dans ce cas, \omega=(\lambda-\mu)/2 est une racine k-ième de l’unité. En utilisant le fait que \mu est une racine carrée de \lambda^2-4, on obtient facilement

\lambda = \omega+\overline\omega \quad \& \quad \frac{\lambda+\mu}{2}=\overline \omega

Ainsi, les zéros de c_k que l’on obtient avec \sigma=1 sont les nombres de la forme \omega+\overline \omega et qui sont différents de \pm 2. En particulier, ils sont réels.

Semblablement, les zéros de c_k que l’on obtient avec \sigma=-1 sont les nombres différents de \pm 2 qui sont de la forme \eta+\overline \eta, avec \eta=\exp\frac{i\pi}{k}\omega\omega est encore une racine k-ième de l’unité. Ces zéros sont également réels.

En fait, les zéros que nous venons d’obtenir sont faciles à calculer. Ce sont les nombres

2\cos\frac{l\pi}{k}, \quad l=1,\ldots,k-1

Comme la fonction \cos est strictement décroissante dans [0,\pi], ils sont distincts. Nous avons donc trouvés tous les zéros de c_k et ils sont simples. Notons qu’ils appartiennent tous à l’intervalle ]-2,2[. De plus, le terme de degré maximum de c_k étant -\lambda^{k-1}, nous avons

c_k=-\left(\lambda-2\cos\frac{\pi}{k}\right)\cdots\left(\lambda-2\cos\frac{(k-1)\pi}{k}\right)

En confrontant cette expression de c_k avec celle trouvée plus haut, on obtient des relations liant les cosinus des angles l\pi/k. Par exemple, en identifiant les termes indépendants pour k=2m+1, on obtient

\prod_{l=1}^{2m}\cos\frac{l\pi}{2m+1}=\frac{(-1)^m}{2^{2m}}

et en identifiant les termes du premier degré pour k=2m, il vient, en travaillant un peu,

\prod_{l=1}^{m-1}\cos\frac{l\pi}{2m}=\frac{\sqrt m}{2^{m-1}}

Terminons par une remarque. Si l divise k alors à partir d’une solution (x^1,\ldots,x^l) de l’équation à l inconnues, on obtient une solution (x^1,\ldots,x^l,x^1,\ldots,x^l,\ldots,x^1,\ldots,x^l) de celle à k inconnues, en juxtaposant k/l copies de la première et la valeur de \lambda est la même pour les deux solutions. Toutefois, pour en déduire que c_l divise c_k il faudrait encore savoir, a priori, que les zéros des c_n sont simples.

😉

P.S. Dans un autre contexte, quelqu’un a attiré mon attention sur les polynômes de Tchebychev. Cela donne un nouveau fait remarquable à l’actif de notre équation. Le voici :

c_k(2\lambda)=-U_k(\lambda)

U_k est le k-ième polynôme de Tchebychev de seconde espèce, c’est-à-dire le polynôme défini par la relation

(\sin t)U_k(\cos t)=\sin(kt)

P.L. 10/11/2014

P.S. J’explique dans un commentaire ci-dessous que, pour une solution non triviale (x_1,\ldots, x_n) de l’équation, x_1\cdots x_n=\sigma. P.L. 12/11/2014
__________
(*) En réalité, si \lambda n’était pas une variable mais un nombre, il faudrait distinguer le cas \lambda=\pm 2 des autres car si \mu=0, le polynôme caractéristique de l’équation n’a qu’un zéro, double. Mais comme nous travaillons formellement, cette distinction n’a pas lieu d’être. De tout façon, nous allons trouver pour c_k une formule dans laquelle \mu n’apparait pas en dénominateur et dont on vérifierait facilement qu’elle donne bien la solution de l’équation lorsque \lambda = \pm 2.
(**) On note I_n la matrice unité de taille n.

5 réflexions sur “Un joyau : les théorèmes de Ceva et de Menelaus, l’ellipse de Steiner et les permutations se rencontrent chez une modeste équation III

  1. Juste pour la partie « Les zeros de c_k » : je pense qu’il faut réécrire que les conditions pour que la fonction homographique représente l’identité sont \alpha = \delta et \beta = \gamma = 0.

    • Bonjour Ashrod! Je suis vraiment content de te lire à nouveau! Tu as tout à fait raison, et je m’en vais corriger l’erreur! Merci!

      P.S. Je me suis permis de « corriger » ton commentaire en mettant le bon code pour que le \LaTeX soit compilé correctement.

  2. Je voudrais revenir sur le fait que pour une solution non triviale (x_1,\ldots ,x_n), le produit x_1\cdots x_n vaut \pm 1 pour préciser qu’en fait, il vaut \sigma.

    En effet, avec les notations de l’article précédent, x_k=\frac{p_{k-1}x+q_{k-1}}{r_{k-1}x+s_{k-1}} et, par construction, p_{k+1}x+q_{k+1}=r_kx+s_k. Par conséquent

    x_1\cdots x_n=\frac{p_0x+q_0}{r_{n-1}x+s_{n-1}}

    ce qui établit l’affirmation car p_0=1,q_0=0, r_{n-1}=\sigma, s_{n-1}=0.

    De plus, si \lambda=2\cos\frac{k\pi}{n}, alors \sigma vaut 1 si k est pair et -1 sinon. Par exemple, pour n=4, les zéros de c_4 sont 0, pour lequel \sigma =1, et \pm\sqrt 2 pour lesquels il vaut -1.

  3. Le plaisir est partagé…

    Il va me falloir tu temps pour comprendre l’entièreté des notions que vous abordez dans ces trois articles (sans compter les autres) mais je m’en régale d’avance.

    Encore merci pour cette abondante solution à ce beau petit problème.

  4. Pingback: Un joyau : les théorèmes de Ceva et de Menelaus, l’ellipse de Steiner et les permutations se rencontrent chez une modeste équation VIII | Blog de Pierre Lecomte

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