En guise d’exercice : une sorte de généralisation du théorème de Menelaus

Considérons des points A_1,\ldots,A_n d’un plan. Une droite \mathcal D de ce plan rencontre les droites A_1A_2,A_2A_3,\ldots,A_{n-1}A_n,A_nA_1 en des points notés P_1,\ldots, P_n et supposés distincts des A_k. Il est demandé de montrer que(*)

\sigma_{A_1,A_2}(P_1)\cdots \sigma_{A_k,A_{k+1}}(P_k)\cdots \sigma_{A_n,A_1}(P_n)=(-1)^n

__________
(*) Pour rappel, si P,Q,R sont alignés, alors

\overrightarrow{PR}=\sigma_{P,Q}(R)\overrightarrow{RQ}

2 réflexions sur “En guise d’exercice : une sorte de généralisation du théorème de Menelaus

  1. J’ai deux démonstrations. Une directe, qui inclut donc le théorème de Menelaus lui-même (il correspond à n=3), et une autre qui utilise le théorème de Menelaus (étant entendu que la propriété est évidente pour n=2). Je patiente encore un peu avant de donner cette dernière, qui est marrante.😉

  2. Voici la seconde méthode, comme annoncé.

    supermenelaus

    Choisissons un point A_0 qui ne soit sur aucune des droites A_iA_j ni sur aucune des parallèles à \mathcal D menées par les Ai ni, enfin, sur \mathcal D. Avec un tel choix, A_0 et deux des points donnés forment toujours un triangle et la droite \mathcal D rencontre toujours la droite A_0A_k en un point distinct de A_0 et de A_k. Avec un léger abus d’écriture, nous poserons

    \sigma_{ij}=\sigma_{A_i,A_j}(\mathcal D\cap A_iA_j)

    Notons que

    \sigma_{ji}=\sigma_{ij}^{-1}

    et qu’il s’agit de prouver que

    \sigma_{12}\cdots\sigma_{n1}=(-1)^n

    Appliquons alors le théorème de Menelaus aux triangles A_kA_{k+1}A_0, \ k=1,\ldots, n, étant entendu que A_{n+1}=A_1. Nous obtenons les relations

    \sigma_{k(k+1)}\sigma_{(k+1)0}\sigma_{0k}=-1

    En les multipliant membre à membre, il vient

    \sigma_{12}\cdots\sigma_{n1}\underbrace{\sigma_{20}\sigma_{01}\sigma_{30}\sigma_{02}\cdots\sigma_{10}\sigma_{0n}}_u=(-1)^n

    d’où le résultat car u=1.

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