Un joyau : les théorèmes de Ceva et de Menelaus, l’ellipse de Steiner et les permutations se rencontrent chez une modeste équation IV

Cette fois c’est du groupe \mathfrak S_4 des permutations de quatre objets et du rapport anharmonique dont il va être question, toujours en relation avec la modeste équation rencontrée dès le premier billet de cette série. De plus, alors que \Gamma_{-1} et ses symétries nous ont conduits à une présentation de \mathfrak S_3, c’est le second ensemble de solutions non triviales de cette équation, \Gamma_1, qui va être mis à contribution.

Par définition, le rapport anharmonique [A:B:C:D] de quatre points alignés A,B,C,D est le nombre(*)

\frac{\sigma_{A,B}(C)}{\sigma_{A,B}(D)}

anharmonique

Lorsque A,B,C,D sont les intersections d’une droite avec des droites \mathcal A,\mathcal B,\mathcal C,\mathcal D passant par un même point S, alors leur rapport anharmonique est indépendant de la position de la sécante par rapport à ces droites. Le birapport joue en géométrie projective le rôle que le rapport de section joue en géométrie affine : c’est un invariant projectif. On dit que A,B,C,D forment un quaterne harmonique lorsque leur rapport anharmonique vaut -1, c’est-à-dire lorsque C,D sont conjugués harmoniques l’un de l’autre par rapport à [A,B]. Les points A,B sont alors conjugués harmoniques par rapport à [C,D]. Cela résulte du comportement du rapport anharmonique sous l’action des permutations de ses arguments que nous allons à présent détailler.

Le tableau ci-dessous présente les valeurs de [X:Y:Z:T] pour les vingt-quatre permutations X,Y,Z,T de A,B,C,D exprimées en fonction de \tau=[A:B:C:D].

(1) \begin{array}{ll}\begin{array}{lc}ABCD&\tau\\[1ex]ACDB&\frac{1}{1-\tau}\\[1ex]ADBC&-\frac{1-\tau}{\tau}\\[1ex]ABDC&\frac{1}{\tau}\\[1ex]ADCB&-\frac{\tau}{1-\tau}\\[1ex]ACBD&1-\tau\\[1ex]\end{array}&\begin{array}{lc}BACD&\frac{1}{\tau}\\[1ex]BCDA&-\frac{\tau}{1-\tau}\\[1ex]BDAC&1-\tau\\[1ex]BADC&\tau\\[1ex]BDCA&\frac{1}{1-\tau}\\[1ex]BCAD&-\frac{1-\tau}{\tau}\\\end{array}\\ & \\\begin{array}{lc}CABD&\frac{1}{1-\tau}\\[1ex]CBDA&-\frac{1-\tau}{\tau}\\[1ex]CDAB&\tau\\[1ex]CADB&1-\tau\\[1ex]CDBA&\frac{1}{\tau}\\[1ex]CBAD&-\frac{\tau}{1-\tau}\end{array}&\begin{array}{lc}DABC&-\frac{\tau}{1-\tau}\\[1ex]DBCA&1-\tau\\[1ex]DCAB&\frac{1}{\tau}\\[1ex]DACB&-\frac{1-\tau}{\tau}\\[1ex]DCBA&\tau\\[1ex]DBAC&\frac{1}{1-\tau}\end{array}\end{array}

L’ensemble \Gamma_1 possède les mêmes symétries que \Gamma_{-1} ce qui, à l’instar de ce que nous avons constaté ici à propos de ce dernier, génère six fonctions qui forment, pour la composition des applications, un groupe isomorphe à \mathfrak S_3. Ces fonctions sont celles qui figurent dans la colonne de droite du premier sous-tableau de (1), celui qui occupe le coin supérieur gauche. Elles sont engendrées par deux d’entre elles, \xi_1: \tau\mapsto \frac{1}{1-\tau} et le passage à l’inverse \tau\mapsto 1/\tau. Elles correspondent respectivement à une permutation circulaire et une transposition. Outre ce qu’on vient d’en dire, le lien avec \Gamma_1 est très fort puisque

\Gamma_1=\{(x,\xi_1(x),\xi_1^{\circ2}(x))|x\in\mathbb R\setminus \{0,1\}\}

On passe d’une ligne à l’autre dans les autres sous-tableaux de (1) en appliquant la même permutation que dans le premier. Par conséquent, ils sont fabriqués en appliquant les mêmes fonctions, et pour construire (1), il suffit dès lors de construire le premier sous-tableau et de déterminer la première ligne de chacun des trois autres.

Pour ce faire, nous allons nous servir du dessin suivant dont chaque ligne présente l’effet sur le rapport anharmonique \tau de la permutation décrite par les petites flèches.

base

La deuxième et la quatrième lignes de ce dessin suffisent pour construire le premier sous-tableau de (1). Avec la première, on trouve la première ligne du sous-tableau occupant le coin supérieur droit que l’on peut donc construire. On obtient alors facilement les premières lignes des deux derniers sous-tableaux ce qui permet d’achever la construction de (1).

La dernière ligne du dessin montre que l’échange des blocs AB et CD conserve le rapport anharmonique et, en particulier, le caractère harmonique d’un quaterne, comme annoncé plus haut. Cela dit, (1) révèle qu’il y a exactement huit permutations qui conservent le caractère harmonique d’un quaterne. Ce sont celles à la droite desquelles on trouve \tau ou 1/\tau.

Il reste à vérifier les affirmations du dessin.

Les permutations des trois premières lignes sont des transpositions qui engendrent \mathfrak S_4. On peut donc déduire les deux dernières lignes des trois premières. Par exemple, la permutation de la quatrième ligne s’obtient en appliquant la troisième transposition puis la seconde. (Je vous laisse exercer votre sagacité pour vérifier la cinquième ligne.)

La première ligne est immédiate à obtenir si on se rappelle que, pour trois points alignés P,Q,R,

\sigma_{Q,P}(R)=\frac{1}{\sigma_{P,Q}(R)}

La deuxième ligne résulte trivialement de la définition du birapport. Pour la troisième, j’utilise l’expression du birapport au moyen d’une abscisse affine choisie sur le support des quatre points: si a,b,c,d sont les abscisses affines de A,B,C,D, alors

[A:B:C:D]=\frac{c-a}{b-c}\frac{b-d}{d-a}

et un petit calcul permet de conclure la vérification du dessin.

😉
__________
(*) Pour des raisons évidentes, il est aussi appelé birapport.

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