Un joyau : les théorèmes de Ceva et de Menelaus, l’ellipse de Steiner et les permutations se rencontrent chez une modeste équation V

L’étude des solutions de la modeste équation nous a fourni, dans le premier et le quatrième billet de la série qui lui est consacrée, deux réalisations du groupe \mathfrak S_3 des permutations de trois objets. Pour chacune, les éléments du groupe sont représentés par des fonctions et le produit du groupe est représenté par la composition des applications. Il s’agit, pour la première, d’applications de \mathbb R\setminus\{-1,0\} dans lui-même, à savoir

(1) x\mapsto x,\ x\mapsto -\frac{1}{1+x},\ x\mapsto -\frac{1+x}{x},\ \frac 1 x,\ -\frac{1}{1+x},\ -(1+x)

et pour la seconde, de fonctions définies de \mathbb R\setminus\{0,1\} dans lui-même :

(2) x\mapsto x,\ x\mapsto \frac{1}{1-x},\ x\mapsto -\frac{1-x}{x},\ \frac 1 x,\ x\mapsto -\frac{x}{1-x},\ 1-x

Dans le présent billet, nous allons établir que

(3) Les réalisations de \mathfrak S_3 par des homographies sont toutes conjuguées à (1).

proposition dont je vais immédiatement préciser le sens.

Soient des ensembles e,e' de nombres réels. Nous dirons que des ensembles de fonctions \left\{f_i:e\to e|i\in I\right\} et \left\{f'_i:e'\to e'|i\in I\right\} sont conjugués s’il existe une bijection \sigma : e\to e' telle que

\forall i\in I,\quad f'_i=\sigma \circ f_i \circ \sigma^{-1}

Les deux réalisations (1) et (2) sont conjuguées : la fonction « changement de signe » x\mapsto -x les échangent.

Elles sont aussi constituées d’homographies, c’est-à-dire de fractions rationnelles dont les numérateurs et les dénominateurs sont des polynômes du premier degré en la variable x. Par définition, nous dirons qu’une réalisation de \mathfrak S_3 par des homographies est un isomorphisme de groupes de \mathfrak S_3 sur un ensemble de six homographies qui forment un groupe pour la compositions des applications (et dont le neutre est \mathrm{id}:x\mapsto x). La proposition (3) stipule que toutes ces réalisations sont deux à deux conjuguées et nous verrons au cours de sa démonstration que les bijections \sigma qui permettent de passer de l’une à l’autre peuvent être choisies parmi les homographies.

Les homographies bijectives forment un groupe, isomorphe au quotient du groupe GL(2,\mathbf R) des matrices carrées de dimension deux non singulières par son centre, l’ensemble des multiples non nuls de la matrice unité de taille deux, I_2. En effet, l’application \mathfrak h qui associe à la matrice

A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}

l’homographie

\mathfrak h_A: x\mapsto \frac{ax+b}{cx+d}

est telle que

  • \mathfrak h_A\circ \mathfrak h_B=\mathfrak h_{AB}
  • \mathfrak h_A=\mathrm{id} si, et seulement si, A est un multiple non nul de la matrice I_2
  • \mathfrak h_A est une bijection si, et seulement si, A est non singulier

(les vérifications sont directes et aisées).

Dans le premier article mentionné au début de ce billet, nous avions obtenus une présentation de \mathfrak S_3 dont nous allons nous servir pour prouver la proposition (3) : il est isomorphe au groupe engendré par deux générateurs u, v vérifiant les relations

u^3=v^2=e,\ u^2v=vu

Une réalisation de \mathfrak S_3 par des homographies est donc déterminée par des homographies associées à des matrices non singulières A,B telles que \mathfrak h_A,\mathfrak h_B ne soient pas l’identité et

\mathfrak h_{A^3}=\mathfrak h_{I_2},\mathfrak h_{B^2}=\mathfrak h_{I_2},\ \mathfrak h_{A^2B}=\mathfrak h_{BA}

Ces dernières conditions sont équivalentes à l’existence de nombres réels \alpha,\beta,\gamma, non nuls, tels que

(4) A^3=\alpha^3I_2, B^2=\pm\beta^2I_2, A^2B=\gamma BA

Quitte à remplacer A et B par A/\alpha et B/\beta, ce qui ne change pas les homographies associées, nous pouvons supposer que \alpha=\beta=1, ce que nous faisons désormais.

La preuve de la proposition (3) résulte alors de quelques observations que je vais consigner dans les numéros 1), 2) et 3) ci-dessous.

1) On a A^2+A+I_2=0.

En effet, (A-I_2)(A^2+A+I_2)=0 et \det (A-I_2)\neq 0, ce qui permet de conclure.

Le fait que le déterminant en question ne soit pas nul se vérifie par l’absurde comme ceci. La matrice A est diagonalisable (éventuellement sur les complexes) car les racines du polynôme X^3-1, annulé par A, sont simples. Elles sont réelles ou vont par paires de complexes conjugués. Dès lors si \det (A-I_2) est nul, alors 1 est une valeur propre double et A=I_2, ce qui est exclu.

2) Je vais poursuivre l’analyse des conditions (4) en supposant que B^2=I_2. L’autre cas donne lieu à une discussion analogue. Je ne la détaillerai pas mais dirai naturellement plus loin à quoi elle aboutit.

Sachant que B n’est pas un multiple de l’identité, nous voyons que ses valeurs propres sont \pm 1 et qu’il est donc semblable à la matrice

B_0=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}

dont les valeurs propres sont les mêmes. A conjugaison près, nous pouvons donc supposer que B=B_0 si bien que

\mathfrak h_B: x\mapsto \frac 1 x

Posons alors

A=\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}

et imposons la dernière condition de (4). Compte tenu de 1), elle s’écrit -AB-B=\gamma BA et après calculs donne les équations suivantes

\begin{cases}q+\gamma r=0\\\gamma q+r=0\\p+\gamma s=-1\\\gamma p+s=-1\end{cases}

Il résulte facilement de celles-ci que si \gamma^2\neq 1, alors A est un multiple de l’identité, ce que nous avons exclu.
Semblablement, \gamma =-1 conduit à une absurdité, à cause des deux dernières équations. On a donc \gamma =1 et

A=\begin{pmatrix}p&q\\-q&-(1+p)\end{pmatrix}

La trace de cette matrice vaut -1. Pour respecter la condition 1), il faut alors, et il suffit, que son déterminant vaille 1, ce qui équivaut à

q^2=p^2+p+1

Avec B^2=-I_2, cette dernière relation est remplacée par q^2=-(p^2+p+1) de sorte que q n’est pas réel. Ce cas ne mène donc à rien(*).

Au total, nous venons d’identifier toutes les manières de répondre aux conditions (4) avec B=B_0, ce à quoi on peut toujours se ramener par conjugaison.

3) Lorsque p est nul, q=\pm 1 et nous obtenons deux matrices A :

A_{-1}=\begin{pmatrix}0&1\\-1&-1\end{pmatrix} \quad \& \quad A_1=\begin{pmatrix}0&-1\\1&-1\end{pmatrix}

Elles correspondent aux homographies x\mapsto -\frac{1}{1+x} et x\mapsto\frac{1}{1-x} qui, avec x\mapsto 1/x, engendrent les réalisations (1) et (2).

Lorsque p\neq 0, il existe des matrices non singulières S telles que SB_0=B_0S et SA=A_{-1}S, ce qui achève la preuve de la proposition (3).

Il n’est pas difficile de déterminer toutes ces matrices S. On commence par exiger que SB_0=B_0S et \det S\neq 0. Ensuite, on impose l’autre condition. Mais un exemple d’une telle matrice suffira. En fait, avec

\begin{pmatrix}q+1&p\\p&q+1\end{pmatrix}

A est transformé en A_{-1} et avec

\begin{pmatrix}q-1&p\\p&q-1\end{pmatrix}

il est transformé en A_1.

Voilà, (3) est prouvé.

Cela dit, il est amusant de constater que x\mapsto -x, le passage à l’inverse au sens additif, qui échange (1) et (2), et x\mapsto 1/x, le passage à l’inverse au sens multiplicatif, sont conjugués! Ce sont en effet les homographies associées aux matrices semblables

\begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \quad \& \quad \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}

😉

P.S. Je commence à entrevoir l’origine de la modeste équation et de ses généralisations à un nombre arbitraire d’inconnues. Avant d’en parler, je dois d’abord rédiger un article ou deux sur les lignes polygonales affines régulières et affiner certaines observations que je viens de faire à propos des solutions de ces équations. Cela va prendre un peu de temps. P.L. 05/12/2014
__________
(*) Il en irait autrement si nous travaillions avec des homographies à coefficients complexes ce que je n’envisage pas de faire dans ce billet.

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