Lignes polygonales affines régulières I

Dans ce billet, je me propose de généraliser la notion de polygone affine régulier à laquelle j’ai consacré une série d’articles dont le premier se trouve ici.

Nous nous plaçons dans un plan affine fixé une fois pour toutes; nous l’appellerons le plan et c’est encore de lui dont il sera question lorsque nous parlerons du plan.

Une ligne polygonale du plan est une suite \mathcal P=(P_i,i\in\mathbf Z) de points — les sommets de la ligne — dont trois consécutifs ne sont jamais alignés.

LignePolygonale

C’est un polygone lorsqu’elle est périodique.

Une ligne polygonale est affine régulière si la position relative de chaque sommet par rapport aux trois précédents est toujours la même. Cela revient à dire que la ligne est une solution d’une équation de la forme

(1) X_{i+3}=pX_i+qX_{i+1}+rX_{i+2}, \quad i\in\mathbf Z

p+q+r=1. Les nombres (p,q,r) sont les paramètres de la ligne polygonale affine régulière.

Les paramètres de lignes polygonales affines régulières qui sont images l’une de l’autre par une affinité bijective sont égaux car une affinité conserve les combinaisons affines. Réciproquement, et pour la même raison, si les lignes polygonales \mathcal P,\mathcal Q ont les mêmes paramètres, alors l’affinité qui applique P_0,P_1,P_2 respectivement sur Q_0,Q_1,Q_2 est bijective et transforme \mathcal P en \mathcal Q. Les paramètres déterminent donc une ligne polygonale affine régulière à transformation affine près.

Clairement, pour qu’une solution \mathcal P de (1) soit une ligne polygonale, il est nécessaire que p\neq 0. Il faut aussi que la condition initiale (P_0,P_1,P_2) soit formée de points non alignés. Ces conditions sont également suffisantes, comme l’affirme la propriété suivante.

Si p\neq 0 et si les points A,B,C sont les sommets d’un triangle, alors il existe une seule ligne polygonale affine régulière \mathcal P de paramètres (p,q,r) telle que P_0=A,P_1=B,P_2=C.

Il est évident qu’il existe une seule solution \mathcal P de (1) pour laquelle P_0=A,P_1=B,P_2=C(*). La question est de montrer que c’est une ligne polygonale. Pour cela, nous allons utiliser l’affinité \mathcal T du plan qui transforme A en B, B en C et C en pA+qB+rC. Puisque p n’est pas nul, ce dernier point n’appartient pas à la droite BC. Ainsi l’affinité transforme les points non alignés A,B,C en des points non alignés. Elle est par conséquent bijective. Comme elle respecte les combinaisons affines, on vérifie alors aisément que

(2) \forall i\in\mathbf Z,\quad P_i=\mathcal T^i(P_0)

Pour tout i\in\mathbf Z, l’affinité \mathcal T^i est bijective et donne donc de tout triple de points non alignés des images qui ne sont pas non plus alignées. Ainsi, trois sommets consécutifs P_i=\mathcal T^i(A), P_{i+1}=\mathcal T^i(B), P_{i+2}=\mathcal T^i(C) de \mathcal P ne sont jamais alignés et la propriété est établie.

Il ressort de la démonstration précédente qu’une ligne polygonale affine régulière est entièrement décrite par une affinité bijective \mathcal T au moyen de la formule (2), affinité qui est univoquement déterminée par la ligne. Si les paramètres de celle-ci sont (p,q,r), alors

\mathcal T^3=p\ \mathrm{id}+q\mathcal T+r\mathcal T^2

En effet, les deux membres de cette égalité sont des affinités qui donnent de P_0,P_1,P_2 les mêmes images. Nous dirons de l’affinité \mathcal T qu’elle est associée à la ligne polygonale affine régulière. Il est à peu près évident que si une affinité bijective \mathcal T vérifie la relation précédente alors, pourvu que P_0,\mathcal T(P_0),\mathcal T^2(P_0) ne soient pas alignés, la formule (2) définit une ligne polygonale affine régulière de paramètres (p,q,r) à laquelle \mathcal T est associé.

Dans ce qui suit, sauf mention explicite du contraire, nous supposerons p\neq 0.

La ligne des milieux \mathcal B

B_i=\frac 1 2\left(A_i+A_{i+1}\right)

d’une ligne polygonale affine régulière \mathcal A de paramètres (p,q,r) est une ligne polygonale si, et seulement si, q\neq 1. Elle est alors affine régulière de paramètres (p,q,r).

Milieux

Vérifions cela. Il est clair que \mathcal B est une solution de (1). Il reste à voir à quelle condition c’est une ligne polygonale, c’est-à-dire à quelle condition B_0,B_1,B_2 ne sont pas alignés puisque nous supposons p\neq 0. Or B_0,B_1,B_2 sont alignés si, et seulement si, il existe des nombres u,v,w non tous nuls tels que u+v+w=0 et uB_0+vB_1+wB_2=0. Mais

uB_0+vB_1+wB_2=\frac 1 2\left((u+pw)A_0+(u+v+qw)A_1+(v+(r+1)w)A_2\right)

Comme A_0,A_1,A_2 ne sont pas alignés, la dernière condition équivaut à

\begin{cases}u+pw=0\\u+v+qw=0\\v+(r+1)w=0\end{cases}

Le déterminant des coefficients de ce système homogène en u,v,w vaut 2-2q. Si q\neq 1, il n’admet que la solution triviale u=v=w=0 et \mathcal B est une ligne polygonale. Si q=1, il admet des solutions non triviales et, pour chacune, u+v+w=0, ce qu’on voit en additionnant ces équations membres à membres : \mathcal B n’est alors pas une ligne polygonale. D’où la conclusion(**).

Lorsque q\neq 1, la ligne polygonale affine régulière \mathcal A de paramètres (p,q,r) est la ligne des milieux d’une unique ligne polygonale affine régulière \mathcal C de paramètres (p,q,r). Elle est donnée par

C_i=A_i+\frac{1-p}{q-1}\overrightarrow{A_iA_{i+1}}+\frac{p}{q-1}\overrightarrow{A_{i-1}A_{i+1}}

La suite \mathcal C ainsi définie est une solution de (1). On voit facilement que sa ligne des milieux est \mathcal A.
Pour conclure, il reste à vérifier que c’est une ligne polygonale et vérifier l’unicité de la ligne cherchée. Cela se fait en un seul coup. La condition initiale C_0, C_1,C_2 d’une ligne polygonale répondant aux conditions de l’énoncé est telle que

\begin{cases}\frac 1 2 C_0+\frac 1 2 C_1=A_0\\\frac 1 2 C_1+\frac 1 2 C_2=A_1\\\frac p 2 C_0+\frac q 2 C_1+\frac {r+1} 2 C_2=A_2\end{cases}

(pour obtenir la troisième condition, j’ai utilisé le fait que C_3=pC_0+qC_1+rC_2). Le déterminant de la matrice des coefficients des C_k de ces équations vaut (1-q)/4. Il n’est pas nul. Ceci établit l’existence et l’unicité de C_0, C_1,C_2 vérifiant ces conditions. Cela montre aussi que C_0, C_1,C_2 ne sont pas colinéaires. En effet, s’ils l’étaient, alors A_0,A_1,A_2 qui en sont des combinaisons affines le seraient également ce qui n’est pas le cas, par hypothèse. La propriété donc est établie.

Lorsque p=1, cas dont nous apprécierons l’importance par la suite, la construction de la suite \mathcal C est particulièrement simple. Comme illustré sur la figure ci-dessous, on obtient C_i à l’intersection de la parallèle à A_{i-1}A_{i+1} menée par A_i et de la parallèle à A_iA_{i+2} menée par A_{i+1}.

Milieux_2

En voici assez pour cet article. J’en dirai plus sur les lignes polygonales affines régulières dans un ou deux autres billets.

🙂
__________
(*) Une démonstration détaillée se fait par récurrence et, pour capturer les sommets de \mathcal P d’indices négatifs, on se sert de l’hypothèse p\neq 0.
(**) Plutôt que les milieux des segments [A_i,A_{i+1}], on peut plus généralement considérer les points de ceux-ci ayant un rapport de section \sigma donné par rapport à ces segments. La ligne des \sigma-points B^\sigma_i=\frac{1}{1+\sigma}A_i+\frac{\sigma}{1+\sigma}A_{i+1} de \mathcal A est encore une solution de (1). Je vous laisse déterminer la condition nécessaire et suffisante sous laquelle elle est polygonale et adapter la proposition suivante à cette ligne.

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