Lignes polygonales affines régulières II

L’ellipse de Steiner d’un triangle est tangente à ses côtés en leurs milieux. Plus généralement, tout polygone affine régulier est tangent à une ellipse, en les milieux de ses côtés. Cette propriété est plus générale encore : elle s’applique à une vaste famille de lignes polygonales affines régulières.

conique_tangente

(1) Une ligne polygonale est tangente à une conique non dégénérée en les milieux de ses côtés si, et seulement si, elle est affine régulière et ses paramètres sont de la forme (1,-s,s), où s\neq -1.

conique_tangente2

Je vais détailler la preuve de cette propriété en plusieurs étapes. Dans ce qui suit, on considère une ligne polygonale \mathcal A et sa ligne des milieux \mathcal B.

1)

(2) Il existe une conique non dégénérée \Gamma tangente en B_0 à A_0A_1, en B_1 à A_1A_2 et en B_2 à A_2A_3 si, et seulement si,

A_3=A_0-sA_1+sA_2

pour un certain s\neq -1.

En effet, dans le repère (A_0,(\overrightarrow{A_0A_2},\overrightarrow{A_0A_1})), le faisceau des coniques tangentes en B_0 à A_0A_1 et en B_1 à A_1A_2 admet l’équation

kx(x+y-1)+l(y-\frac 1 2)^2=0

Une seule de ces coniques passe par B_3, disons \Gamma. C’est celle d’équation

-(v-1)^2x(x+y-1)+(u+v-1)(u+1)(y-\frac 1 2)^2=0

(u,v) sont les coordonnées de A_3. La droite A_2A_3 admet les équations paramétriques

\begin{cases}x=\frac 1 2(u+1)+(u-1)t\\y=\frac v 2+vt\end{cases}

et, après calculs, on obtient l’équation aux intersections de cette droite avec \Gamma(*) :

(2v(u+v-1)-u+1)t^2+(v-1)(u+v)t=0

Ainsi, \Gamma est tangent à A_2A_3 si, et seulement si, (v-1)(u+v)=0.

Lorsque v=1, \Gamma est dégénéré voire n’est pas une conique (quand u+1 est nul). Lorsque u+v=0 alors \Gamma est dégénéré si, et seulement si, u+1=0.

Il existe donc une conique non dégénérée \Gamma tangente en B_0 à A_0A_1, en B_1 à A_1A_2 et en B_2 à A_2A_3 si, et seulement si, les coordonnées de A_3 sont de la forme (s,-s) avec s\neq -1. D’où (2).

2) Supposons que la ligne \mathcal A soit tangente à une conique non dégénérée en les milieux de ses côtés. D’après 1) dont on conserve les notations, la conique, \Gamma, admet l’équation

f(x,y)\equiv (s+1)x(x+y-1)+(y-\frac 1 2)^2=0

Par ailleurs, en coordonnées, l’affinité \mathcal T qui applique A_0 sur A_1, A_1 sur A_2 et A_2 sur A_3 est donnée par

\begin{cases}x'=sx+y\\y'=-(s+1)x-y+1\end{cases}

On vérifie facilement que f(x',y')=f(x,y). Par conséquent, \mathcal T stabilise \Gamma : \mathcal T(\Gamma)\subset \Gamma.

Nous allons en déduire que \mathcal T(A_i)=A_{i+1} pour tout i\in \mathbf Z. Je détaille la preuve pour les indices positifs. Elle est facile à adapter pour les autres. On procède par récurrence. Les cas de base, i=0 et i=1, résultent tout simplement de la définition de l’affinité. Passons alors de i-1 à i. L’affinité \mathcal T transforme la tangente A_{i-1}A_i à \Gamma en la seconde tangente issue de A_i et B_{i-1} en son point de tangence. Il s’agit donc respectivement de A_iA_{i+1} et B_i puisque \Gamma est tangent à \mathcal A en les milieux de ses côtés. De plus, B_i est le milieux de [A_i,\mathcal T(A_i)] car B_{i-1} dont il est l’image est celui de [A_{i-1},A_i]. Par suite, \mathcal T(A_i)=A_{i+1} comme nous le voulions.

Le fait que \mathcal T transforme chaque sommet de \mathcal A en le suivant montre que celui-ci est une ligne polygonale affine régulière de paramètres (1,-s,s).

3) Supposons enfin que \mathcal A soit une ligne polygonale affine régulière de paramètre (1,-s,s), avec s\neq -1. D’après 1), il existe une conique non dégénérée \Gamma tangente en B_0 à A_0A_1, en B_1 à A_1A_2 et en B_2 à A_2A_3. On vérifie comme en 2) que cette conique est stabilisée par l’affinité associée à \mathcal A. Ceci montre que \Gamma est tangent à \mathcal A en les milieux de ses côtés car l’affinité en question transforme chaque tangente à \Gamma en une tangente et son point de contact en celui de son image.

Voilà, (1) est prouvé!

Lorsque \mathcal A est tangent à une conique non dégénérée en les milieux de ses côtés, alors celle-ci est une ellipse si -1<s<3, une parabole si s=3 et une hyperbole si s<-1 ou s>3 (cela se vérifie facilement avec l’équation de la conique donnée en 2)).

On retrouve ainsi le fait que les polygones affines réguliers sont tangents à une ellipse en les milieux de leurs côtés. Ce sont en effet les lignes polygonales régulières de paramètres (1,-s,s) pour lesquelles s=2\cos\frac{2k\pi}{n}+1k et n sont premiers entre eux.

Un autre corollaire de (1) est le suivant.

Toute ligne polygonale affine régulière de paramètres (1,-s,s), où s\neq -1, est inscrite à une conique non dégénérée.

En effet, une ligne polygonale affine régulière \mathcal A de paramètres (1,-s,s), avec s\neq -1, est la ligne des milieux d’une ligne polygonale affine régulière \mathcal C de même paramètres. Les sommets de \mathcal A sont donc situés sur la conique à laquelle \mathcal C est tangent en les milieux de ses côtés.

Le fait d’être inscrit à une conique non dégénérée est moins contraignant que celui d’être tangent à une conique en les milieux de ses côtés. Par exemple, une ligne polygonale inscrite à une conique n’est pas nécessairement affine régulière. Je n’ai pas de critère pour qu’une ligne polygonale soit inscrite à une conique — je n’ai pas encore réfléchi à ce problème qui m’est venu à l’esprit à l’instant. Je ne sais pas non plus si toutes les lignes polygonales affines régulières sont inscriptibles. J’ai bien des stratégies pour tenter de trancher cette question mais je les mettrai en oeuvre plus tard, si je le fais jamais.

__________
(*) Il faut noter que, dans ces calculs, on est amené à diviser par u+v-1. Le fait que ce nombre ne soit pas nul équivaut au fait que A_1,A_2,A_3 ne sont pas alignés.

Une réflexion sur “Lignes polygonales affines régulières II

  1. Pingback: A propos de certaines lignes polygonales affines régulières I | Blog de Pierre Lecomte

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