Une remarque en passant : une équation implicite pour les vecteurs propres d’une matrice de taille deux

Le couple (u,v), non nul, est un vecteur propre de la matrice

A= \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}

si, et seulement si, il existe \lambda tel que

\begin{cases}u\lambda=au+bv\\v\lambda=cu+dv\end{cases}

On peut regarder ces relations comme formant un système de deux équations du premier degré en l’inconnue \lambda. Comme (u,v)\neq (0,0), il est compatible si, et seulement si, le déterminant de

\begin{pmatrix}u&au+bv\\v&cu+dv\end{pmatrix}

est nul. Les vecteurs propres (u,v) de A vérifient donc l’équation

cu^2+(d-a)uv-bv^2=0

Réciproquement, considérons une solution non nulle (u,v) de celle-ci. On a donc u(cu+dv)-v(au+bv)=0. Comme les solutions (x,y) de l’équation ux-vy=0 sont les multiples de (v,u), il existe donc \lambda tel que cu+dv =\lambda v et au+bv=\lambda u. Autrement dit, (u,v) est un vecteur propre de A.

Le discriminant

(d-a)^2+4bc=(a+d)^2-4(ad-bc)

de la forme quadratique

q_A=cu^2+(d-a)uv-bv^2

est le même que celui du polynôme caractéristique de A, ce qui n’est pas surprenant.

L’application A\mapsto q_A est linéaire et q_A est nul lorsque A est un multiple de

I= \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 &1\end{pmatrix}

En conséquence, q_{A^2}=(\mathrm{tr}A) \ q_A car A annule son polynôme caractéristique X^2-(\mathrm{tr}A)X+(\det A)I.

Plus généralement, il existe des polynômes u_n(X,Y) tels que

q_{A^n}=u_n(\tau,\delta)q_A

\tau est la trace de A et \delta son déterminant. Sauf erreur de ma part, il s’agit de

u_n=2^{1-n}\sum_{0\leqslant 2k+1 \leqslant n}{n\choose 2k+1}X^{n-2k-1}(X^2-4Y)^k

C’est assez facile à voir. En fait, toujours parce que A annule son polynôme caractéristique, il existe des suites n\mapsto u_n,n\mapsto v_n telles que

A^n=u_n A+v_n I

(et, en particulier, q_{A^n}=u_nq_A). Elles sont invariantes par similitudes et dépendent donc de A par l’intermédiaire de ses trace et déterminant. Pour les calculer, on constate qu’elles vérifient une relation de récurrence, à savoir

\begin{cases}u_{n+1}=\tau u_n+v_n\\v_{n+1}=-\delta u_n\end{cases}

assortie des conditions initiales u_0=0,v_0=1. En conséquence, u_{n+2}-\tau u_{n+1}+\delta u_n=0, u_0=0,u_1=1. Il suffit alors d’appliquer la méthode classique de résolution de ce genre d’équation pour obtenir des formules explicites pour les deux suites, ce que je laisserai le soin de faire au lecteur intéressé par la chose.

😉

2 réflexions sur “Une remarque en passant : une équation implicite pour les vecteurs propres d’une matrice de taille deux

  1. Pingback: A propos de certaines lignes polygonales affines régulières III – Le cas des sécantes | Blog de Pierre Lecomte

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