Un joyau : les théorèmes de Ceva et de Menelaus, l’ellipse de Steiner et les permutations se rencontrent chez une modeste équation VI

La modeste équation nous a occupés durant cinq articles déjà et, pourtant, il reste encore des choses à raconter à son sujet…

Dans le présent billet, je vais proposer un contexte dans lequel cette équation et ses généralisations ont une interprétation naturelle. J’ai deux généralisations en vue. Nous connaissons déjà la première, à savoir celle à n inconnues,

x_0+\frac{1}{x_1}=x_1+\frac{1}{x_2}=\cdots=x_{n-1}+\frac{1}{x_0}

La seconde généralisation possède une infinité d’inconnues x_i, i\in\mathbf Z, et s’écrit, maladroitement j’en conviens, mais de façon parlante me semble-t-il,

(1) \cdots=x_{-2}+\frac{1}{x_{-1}}=x_{-1}+\frac{1}{x_0}=x_0+\frac{1}{x_1}=\cdots=x_n+\frac{1}{x_{n+1}}=\cdots

En d’autres termes, résoudre cette équation consiste à trouver les suites i\in\mathbf Z\mapsto x_i\in\mathbf R pour lesquelles les nombres x_i+\frac{1}{x_{i+1}}, i\in\mathbf Z, sont égaux.

En fait, cette dernière équation englobe les précédentes. En effet, l’équation à n inconnues donnée plus haut ne fait que décrire ses solutions périodiques dont la période divise n.

Comme je le suspectais depuis un certain temps, nos équations vivent dans le monde des lignes polygonales affines régulières.

Dans cet article, je vais présenter une construction qui permet d’engendrer à l’aide de lignes polygonales affines régulières les solutions de (1) pour lesquelles \left|x_i+\frac{1}{x_{i+1}}\right|\neq 2, solutions au nombre desquelles comptent les solutions périodiques c’est-à-dire celles des équation à n inconnues. Dans un billet ultérieur, j’en donnerai une variante qui fournira toutes les solutions de (1). Si elle est techniquement plus simple, cette variante est moins riche en informations sur les lignes polygonales affines régulières que ce qui est présenté ici. C’est pourquoi j’ai décidé de maintenir le présent billet.

Nous nous plaçons une fois pour toutes dans un plan affine réel \mathcal E.

L’idée de ce qui suit est alors assez simple. La voici. Etant donné un point O de \mathcal E, une suite i\mapsto P_i de points de \mathcal E, distincts de O, définit une suite de l’espace projectif \mathcal P_O:=P\mathcal E_O associé à l’espace vectoriel \mathcal E_O des vecteurs liés en O de \mathcal E(*), à savoir la suite des droites OP_i. L’espace \mathcal P_O est une droite projective réelle. Les coordonnées de ses éléments dans une carte donnée sont donc des nombres réels. Les coordonnées des droites OP_i définissent donc une suite de nombres réels x_i. Inversement, une telle suite est formée des coordonnées de droites \mathcal D_i de \mathcal E passant par O et, en choisissant sur chacune un point P_i, on construit une suite de points à laquelle correspond la suite numérique donnée. Cette correspondance entre suites de points et suites numériques n’est pas bijective mais on peut imaginer qu’en s’y prenant bien, les propriétés algébriques d’une suite numérique se reflètent en propriétés géométriques significatives d’une suite de points qu’on peut lui associer de cette façon.

Points fixes d’une certaine affinité

L’affinité \mathcal T associée à une ligne polygonale affine régulière \mathcal A de paramètres (1,-s,s), s\neq -1, admet un point fixe si, et seulement si, s\neq 3. Lorsque cette condition est satisfaite, \mathcal T n’a qu’un point fixe et c’est le centre de la conique \Gamma qui est tangente aux côtés de \mathcal A en leur milieux.

Cherchons un éventuel point fixe O de \mathcal T sous la forme d’une combinaison affine aA_0+bA_1+cA_2 des conditions initiales de \mathcal A. Par définition de l’affinité, \mathcal T(A_i)=A_{i+1}. En particulier, \mathcal T(A_2)=A_3=A_0-sA_1+sA_2. En égalant alors les coefficients de A_0,A_1,A_2 dans les deux membres de l’égalité \mathcal T(O)=O, on obtient les relations a=c,b=(1-s)c (et la tautologie c=c). Mais alors 1=a+b+c=(3-s)c.

Ce qui précède montre que \mathcal T admet au plus un point fixe et qu’il en admet un si, et seulement si, s\neq 3. Notons qu’alors O=\frac{1}{3-s}A_0+\frac{1-s}{3-s}A_1+\frac{1}{3-s}A_2 ou encore

(2) A_2=(3-s)O-A_0-(1-s)A_1

Cela étant, supposons que s\neq 3. La conique \Gamma est alors une ellipse ou une hyperbole (selon que s\in]-1,3[ ou s\notin]-1,3[) et possède donc un centre, disons C. Considérons alors deux tangentes parallèles à \Gamma, \mathcal D_1,\mathcal D_2, et leurs points de contact respectifs D_1,D_2. Le milieu de la corde de contact [D_1,D_2] est C. L’affinité \mathcal T stabilise la conique \Gamma. Par conséquent, \mathcal T(\mathcal D_1) et \mathcal T(\mathcal D_2) sont deux tangentes parallèles à \Gamma, leurs points de contact sont \mathcal T(D_1) et \mathcal T(D_2) et le milieu de [\mathcal T(D_1),\mathcal T(D_2)] est \mathcal T(C). Mais c’est encore le centre C de \Gamma. Par conséquent, \mathcal T(C)=C et la propriété est établie.

Voici un lemme dont nous allons bientôt nous servir. Les notations sont celles de l’énoncé précédent et de sa preuve et on suppose que s\neq 3.

Pour tout i\in \mathbf Z, \overrightarrow{OA}_i et \overrightarrow{OA}_{i+1} sont linéairement indépendants.

On vérifie cela par l’absurde. Supposons donc O,A_i et A_{i+1} alignés. Dans ce cas, la droite A_iA_{i+1}, qui est tangente à \Gamma en le milieu B_i de [A_i,A_{i+1}], contient deux points de \Gamma, à savoir B_i et son symétrique 2O-B_i par rapport à O, ce qui est absurde car la conique n’est pas dégénérée (puisque s\neq -1) et ne peut donc pas contenir de droite.

Repères et coordonnées

Les notations \mathcal A,s,\mathcal T,\Gamma, O,\ldots sont celles de la section précédente et on suppose que s\notin \{-1,3\}. Il résulte du lemme établi à la fin de cette section que

R_\mathcal A=(O,(\overrightarrow{OA}_0,\overrightarrow{OA}_1))

est un repère de \mathcal E.

L’expression de l’affinité \mathcal T dans le repère R_\mathcal A est l’application

(3) \begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}0&-1\\1&s-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}

En particulier,

\det \overrightarrow{\mathcal T}=1

En général, une application affine est représentée dans un repère par une fonction affine dont les termes indépendants sont constitués par les coordonnées de l’image de l’origine du repère et dont la matrice des coefficients des variables a pour colonnes les composantes des images des vecteurs de la base du repère. Dans notre cas, l’origine est un point fixe de l’affinité. Les termes indépendants sont donc nul. Quant à la matrice des coefficients des variables, elle a pour colonnes les composantes des images de \overrightarrow{OA}_0 et \overrightarrow{OA}_1, à savoir A_1-O et A_2-O, respectivement. En utilisant (2), on en déduit immédiatement l’expression annoncée.

Voici alors une propriété importante pour la suite

Soit un point P de \mathcal E. Les points P,\mathcal T(P),\mathcal T^2(P) sont alignés si, et seulement si P est situé sur une asymptote de \Gamma.

Puisque s\notin\{-1,3\}, la conique \Gamma est une hyperbole ou une ellipse. Nous supposons que \mathcal E est un espace affine réel et les ellipses n’ont en principe pas d’asymptote. Pour que le raisonnement qu’on s’apprête à tenir s’applique autant aux ellipses qu’aux hyperboles, il faut admettre de considérer des points et des droites complexes. Je ne détaillerai pas cela qui consisterait, en toute rigueur, à complexifier \mathcal E. Provisoirement, notre conique \Gamma a donc deux asymptotes qui se coupent en son centre, unique point fixe de \mathcal T.

Constatons d’abord que les vecteurs directeurs des asymptotes de la conique sont les vecteurs propres de \overrightarrow{\mathcal T}. En effet, dans un repère donné, l’équation implicite pour les vecteurs propres de \overrightarrow{\mathcal T} est aussi l’équation aux directions asymptotiques de \Gamma. Cela se voit par exemple facilement avec l’expression de \mathcal T et l’équation de \Gamma données dans ce billet(**).

Il résulte de cela que les asymptotes de \Gamma sont stabilisées par \mathcal T de sorte que, si P est sur une asymptote, alors P,\mathcal T(P),\mathcal T^2(P) sont alignés.

Inversement, supposons que P,\mathcal T(P),\mathcal T^2(P) soient alignés et que P ne soit pas sur une asymptote de \Gamma. En particulier, il n’est pas un point fixe de \mathcal T lequel stabilise donc la droite \mathcal D passant par P et son image. La droite \mathcal D rencontre une des asymptotes de \Gamma, nécessairement en un point fixe de \mathcal T. Il s’agit dès lors de O. Mais alors les vecteurs directeurs de \mathcal D sont des vecteurs propres de \overrightarrow{\mathcal T}. Ainsi, \mathcal D est nécessairement une asymptote de la conique ce qui contredit la seconde hypothèse faite sur P.

Nous allons terminer cette section par la description d’une carte (\Omega_\mathcal A,\varphi_\mathcal A) de la droite projective \mathcal P_O grâce à laquelle nous établirons une correspondance entre des suites de points i\mapsto P_i et des suites numériques i\mapsto x_i comme suggéré au début de ce billet.

Par définition, le domaine \Omega_\mathcal A de la carte est l’ouvert de \mathcal P_O formé des droites passant par O et distinctes de OA_0. De plus, si \mathcal D est une telle droite, alors

\varphi_\mathcal A(\mathcal D)=\frac u v

(u,v) sont les composantes dans le repère R_\mathcal A d’un vecteur directeur arbitraire de \mathcal D(***).

Notons que les asymptotes éventuelles de \Gamma sont dans \Omega_\mathcal A. C’est le lemme ci-dessus qui nous dit cela! En effet, si OA_0 était une asymptote, \overrightarrow{OA_0} serait un vecteur propre de \overrightarrow{\mathcal T} et \overrightarrow{OA_0},\overrightarrow{OA_1} seraient proportionnels ce qui ne se peut.

Considérons un point P\notin OA_0. Nous aurons besoin de savoir à quelle condition sur x=\varphi_\mathcal A(OP) les droites joignant O aux points P_i=\mathcal T^i(P), i\in\mathbf Z, sont toutes dans \Omega_\mathcal A.

Notons (u,v) les coordonnées de P dans le repère R_\mathcal A. Celles de \mathcal T^i(P) sont alors

(-1)^i\begin{pmatrix}0&1\\-1&1-s\end{pmatrix}^i\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}

On a montré dans cet article que

\begin{pmatrix}0&1\\-1&1-s\end{pmatrix}^i=\begin{pmatrix}\gamma_{i-1}&-\gamma_i\\\gamma_i&-\gamma_{i+1}\end{pmatrix}

où la suite i\in \mathbf Z \mapsto \gamma_i\in \mathbf R est la solution de l’équation de récurrence u_{i+2}+(s-1)u_{i+1}+u_i=0, u_0=0, u_1=-1. En fait, avec les notations de l’article en question, \gamma_i est la valeur en \lambda=1-s du polynôme c_i.

Il résulte de ceci que OP_i\in\Omega_\mathcal A si, et seulement si, u\gamma_i-v\gamma_{i+1}\neq 0 c’est-à-dire

x\gamma_i-\gamma_{i+1}\neq 0

Notons que \gamma_i et \gamma_{i+1} ne sont pas tous les deux nuls car les polynômes c_i, c_{i+1} sont premiers entre eux. La condition ci-dessus est donc toujours satisfaite lorsque \gamma_i=0. Notons I l’ensemble des indices i pour lesquels \gamma_i\neq 0 et posons

e_s=\{\frac{\gamma_{i+1}}{\gamma_i}|i\in I\}

Nous venons de montrer que

Les droites OP_i, i\in\mathbf Z, sont toutes dans \Omega_\mathcal A si, et seulement si, x\notin e_s.

Lignes polygonales affine régulières et solutions de (1)

Soient une ligne polygonale affine régulière \mathcal A de paramètres (1,-s,s) avec s\notin \{-1,3\} et un point P_0 qui n’est pas sur une asymptote de la conique \Gamma et pour lequel

(4) x_0=\varphi_\mathcal A(OP_0)\notin e_s

La suite \mathcal P: i\in\mathbf Z\mapsto P_i=\mathcal T^i(P_0)\in\mathcal E est une ligne polygonale régulière de même paramètres que \mathcal A et la suite i\in\mathbf Z\mapsto x_i=\varphi_\mathcal A(OP_i)\in \mathbf R est une solution de (1). Plus précisément,

\forall i\in\mathbf Z, \quad x_i+\frac{1}{x_{i+1}}=1-s

La vérification de cette propriété est facile — nous avons fait tout ce qu’il faut pour cela dans les sections précédentes.
Les points P_0,P_1,P_2 ne sont pas alignés car P_0 n’est pas sur une asymptote de \Gamma. Il en résulte que \mathcal P est une ligne polygonale affine régulière, de paramètres (1,-s,s). Vu (4), les droites OP_i sont toutes contenues dans \Omega_\mathcal A de sorte que les x_i sont bien définis. Notons (u_i,v_i) les coordonnées de P_i dans le repère R_\mathcal A. On a P_{i+1}=\mathcal T(P_i). Par conséquent,

\begin{pmatrix}u_{i+1}\\v_{i+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-1\\1&s-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_i\\v_i\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-v_i\\u_i+(s-1)v_i\end{pmatrix}

et donc

x_{i+1}=\frac{u_{i+1}}{v_{i+1}}=\frac{-v_i}{u_i+(s-1)v_i}=\frac{1}{1-s-x_i}

La propriété est ainsi établie car cette dernière relation s’écrit encore x_i+\frac{1}{x_{i+1}}=1-s.

Nous dirons des solutions de (1) obtenues de la manière décrite dans la proposition précédente qu’elles sont engendrées par une ligne polygonale affine régulière.

Une solution de (1) est déterminée par sa valeur initiale x_0 et la valeur commune \lambda des nombres x_i+\frac{1}{x_{i+1}}.
Cela observé,

Une solution i\mapsto x_i de (1) est engendrée par une ligne polygonale affine régulière si, et seulement si, elle est non triviale et |\lambda|\neq 2.

Tout d’abord si la solution est engendrée par une ligne polygonale affine régulière, de paramètres (1,-s,s), alors \lambda =1-s et la relation |\lambda|\neq 2 résulte du fait que s\notin \{-1,3\}. De plus, elle est non triviale, i.e. les x_i ne sont pas tous égaux. En effet, avec les notations de la proposition précédente, \mathcal T est l’affinité associée à la suite polygonale affine régulière \mathcal P. D’après le lemme donné plus haut, les droites OP_0,OP_1 sont donc distinctes. Dès lors, x_0\neq x_1.

Réciproquement, supposons que la solution i\mapsto x_i soit non triviale et telle que |\lambda|\neq 2 et montrons qu’elle est engendrée par une suite polygonale affine régulière. Pour ce faire, nous allons reconstruire progressivement les ingrédients nécessaires \mathcal A,\mathcal T, O, P_0, etc.

Choisissons d’abord des points non alignés O,A_0,A_1 et notons \mathcal T l’affinité dont l’expression dans le repère (O,(\overrightarrow{OA_0},\overrightarrow{OA_1})) est l’application (3) où s=1-\lambda. Observons que s\notin\{-1,3\} car |\lambda|\neq 2. Pour tout i\in\mathbf Z, posons A_i=\mathcal T^i(A_0), ce qui est licite puisque \mathcal T(A_0)=A_1. Un calcul en coordonnées montre alors que A_0,A_1,A_2 ne sont pas alignés et que A_3=A_0-sA_1+sA_2. La suite \mathcal A:i\mapsto A_i est donc une ligne polygonale affine régulière de paramètres (1,-s,s) et \mathcal T est l’affinité qui lui est associée.

Considérons ensuite les droites \mathcal D_i= \varphi_\mathcal A^{-1}(x_i). Du fait que i\mapsto x_i est une solution de (1), c’est-à-dire vérifie

\forall i\in \mathbf Z, x_{i+1}=\frac{1}{1-s-x_i}

on a \mathcal T(\mathcal D_i)=\mathcal D_{i+1}. De plus, x_0\neq x_1 car la solution n’est pas triviale. Dès lors, \mathcal D_0 n’est pas une asymptote de \Gamma. Cela noté, prenons un point P_0 de \mathcal D_0, distinct de O. On a alors \mathcal D_i=OP_i, où P_i=\mathcal T^i(P_0). Comme, par construction, les droites \mathcal D_i appartiennent toutes à \Omega_\mathcal A, x_0=\varphi_\mathcal A(OP_0)\notin e_s, ce qui achève notre preuve.

Remarques

a) On peut générer également les solutions triviales de (1) pour lesquelles |\lambda|\neq 2 ou, de façon équivalente, |x_0|\neq 1.
Il suffit de prendre P_0 sur une asymptote de \Gamma, distinct de O, ce qui est toujours possible. En effet, pour tout nombre réel x non nul, \left|x+\frac 1 x\right| \geqslant 2, l’égalité ayant lieu si, et seulement si, x=\pm 1. Donc, lorsque x_0\neq\pm 1 la valeur de \lambda pour une solution triviale est strictement plus petite que -2, ou strictement plus grande que 2. On a alors s=1-\lambda\notin[-1,3] et la conique \Gamma tangente en leurs milieux aux côtés d’une ligne polygonale régulière de paramètres (1,-s,s) est une hyperbole. Naturellement, lorsque P_0 est pris sur une asymptote, la suite \mathcal P n’est pas polygonale puisque tous les \mathcal T^i(P_0) sont sur cette asymptote.

b) Pour une solution non triviale périodique de (1), on a toujours |\lambda|<2. En effet, on a vu ici que les valeurs de \lambda donnant une solution non triviale de l’équation à n inconnues sont les nombres 2\cos\frac{k\pi}{n}, k\in\{1,\ldots,n-1\}. Toutes les solutions périodiques de (1) sont donc engendrées par une ligne polygonale affine régulière. Par exemple, pour la modeste équation, c’est-à-dire pour n=3, \lambda peut prendre deux valeurs : \pm 1. Avec 1, s=0 et la ligne polygonale (\mathcal A) générant les solutions correspondantes est un triangle. Avec -1, s=2 et c’est un hexagone affine régulier. Le fait que, dans ce cas, la solution soit de période trois et non six résulte de ce que les sommets de l’hexagone sont disposés symétriquement par rapport à son centre de gravité qui est aussi le centre O de l’ellipse tangente à ses côtés en leur milieux. Avec les notations de la section précédente, on a donc OP_0=OP_3, OP_1=OP_4 et OP_2=OP_5 et, en particulier, x_0=x_3.

En général, une ligne polygonale affine régulière qui engendre une solution périodique de (1) est toujours périodique et sa période est égale à celle de la solution ou à son double. En effet, une ligne de paramètre (1,-s,s) est périodique de période m si, et seulement si, s=1+2\cos\frac{2l\pi}{m}l\in{1,\ldots,m-1} est premier avec m. Partons d’une solution périodique de (1). Son \lambda s’écrit 2\cos\frac{k\pi}{n} où on peut supposer k,n premiers entre eux, de sorte que la période de la solution est n. La valeur du paramètre s d’une ligne polygonale régulière qui génère la solution est

s=1-\lambda=1+2\cos\frac{(n-k)\pi}{n}

Les nombres n-k et n sont premiers entre eux. Si n-k est impair, alors s=1+\cos\frac{2(n-k)\pi}{2n} et la ligne polygonale est périodique de période 2n. Sinon, n-k=2a, s= 1+\cos\frac{2api}{n} et elle est périodique de période n.

__________
(*) L’espace projectif d’un espace vectoriel E est l’ensemble PE des droites vectorielles de E.

(**) Pour rappel, dans un repère donné, l’équation aux directions asymptotique d’une conique est l’équation quadratique au^2+buv+cv^2=0 vérifiées par les composantes des vecteurs directeurs (u,v) des asymptotes de la conique. Cette équation est simplement la partie homogène d’ordre deux de celle de la conique.

(***) Dans un langage un peu désuet, (u,v) sont des coordonnées homogènes de \mathcal D — elles ne sont définies qu’à un facteur non nul près — tandis que x=\frac u v est une coordonnée affine. La droite OA_0 n’a pas de coordonnée affine dans la carte considérée car les secondes composantes de ses vecteurs directeurs sont toutes nulles. On pourrait lui en donner une en ajoutant à \mathbf R un « point à l’infini ». Une fois une base de \mathcal E_O choisie, \mathcal P_O s’identifie à P^1\mathbf R auquel j’ai consacré trois billets. Le lecteur est renvoyé au second pour plus d’informations sur la structure de la droite projective réelle et, donc, de \mathcal P_O.

Une réflexion sur “Un joyau : les théorèmes de Ceva et de Menelaus, l’ellipse de Steiner et les permutations se rencontrent chez une modeste équation VI

  1. Pingback: Quelques belles images | Blog de Pierre Lecomte

Laisser un commentaire

Entrez vos coordonnées ci-dessous ou cliquez sur une icône pour vous connecter:

Logo WordPress.com

Vous commentez à l'aide de votre compte WordPress.com. Déconnexion / Changer )

Image Twitter

Vous commentez à l'aide de votre compte Twitter. Déconnexion / Changer )

Photo Facebook

Vous commentez à l'aide de votre compte Facebook. Déconnexion / Changer )

Photo Google+

Vous commentez à l'aide de votre compte Google+. Déconnexion / Changer )

Connexion à %s